Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t \geqslant 0.)
\ddot{x}+4 x=\cos (2 t), x(0)=\dot{x}(0)=0;

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
\ddot{x}(t) + 4\,x(t) = \cos(2t),
com condições iniciais x(0)=0 e \dot x(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos aplicar as propriedades da transformada para derivadas, resolver no domínio s e depois inverter para obter x(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
\mathcal{L}\{\ddot x(t)\} = s^2 X(s) - s\,x(0) - \dot x(0) e \mathcal{L}\{\cos(2t)\} = \dfrac{s}{s^2+4}, e usando x(0)=\dot x(0)=0, obtemos
s^2 X(s) + 4\,X(s) = \frac{s}{s^2+4}.
Agrupando fatores,
X(s)\,\bigl(s^2+4\bigr) = \frac{s}{s^2+4} \qquad\Longrightarrow\qquad X(s) = \frac{s}{\bigl(s^2+4\bigr)^2}.

Passo 3

Reconhecemos que
\mathcal{L}\{\,t\sin(2t)\} = \frac{2\cdot 2\,s}{(s^2+4)^2} = \frac{4s}{(s^2+4)^2}.
Portanto
X(s) = \frac{1}{4}\,\frac{4s}{(s^2+4)^2} = \frac{1}{4}\,\mathcal{L}\{\,t\sin(2t)\},
e, invertendo a transformada,
x(t) = \frac{1}{4}\;t\sin(2t).

Passo 4

Vamos verificar por substituição. Seja
x(t)=\frac{t\sin(2t)}{4}.
Calculamos
\dot x(t) =\frac{1}{4}\bigl[\sin(2t)+2t\cos(2t)\bigr],
\ddot x(t) =\frac{1}{4}\bigl[2\cos(2t)+2\cos(2t)-4t\sin(2t)\bigr] =\cos(2t)-t\sin(2t).
Logo
\ddot x(t)+4x(t) =\bigl(\cos(2t)-t\sin(2t)\bigr) +4\cdot\frac{t\sin(2t)}{4} =\cos(2t).
E as condições iniciais dão
\,x(0)=0 e \dot x(0)=0. Tudo confere.

Resposta

x(t) = \frac{t\sin(2t)}{4}.

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