Resolva.
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x-2 y \\\ \dot{y}=2 x+y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear homogêneo de EDOs com coeficientes constantes:
\begin{cases} \dot{x} = x - 2y,\\\ \dot{y} = 2x + y. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por redução a uma equação de segunda ordem e uso de equações características.

Passo 2

Vamos eliminar y. Da primeira equação temos
y = \frac{x - \dot{x}}{2}.
Diferenciando em relação a t obtemos
\dot{y} = \frac{\dot{x} - \ddot{x}}{2}.
Substituindo na segunda equação:
\frac{\dot{x} - \ddot{x}}{2} = 2x + y = 2x + \frac{x - \dot{x}}{2}.
Multiplicando tudo por 2:
\dot{x} - \ddot{x} = 4x + x - \dot{x} \;\;\Longrightarrow\;\; -\ddot{x} + \dot{x} = 5x - \dot{x} \;\;\Longrightarrow\;\; \ddot{x} - 2\dot{x} + 5x = 0.

Passo 3

A equação característica da EDO
\ddot{x} - 2\dot{x} + 5x = 0
é
r^2 - 2r + 5 = 0,
cuja solução é
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} = 1 \pm 2\,\mathrm{i}.
Logo a solução geral para x(t) é
x(t) = e^{t}\bigl(A\cos(2t) + B\sin(2t)\bigr),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para encontrar y(t), usamos
y = \frac{x - \dot{x}}{2}.
Calculando \dot{x}:
\dot{x}(t) = e^{t}\Bigl[(A\cos2t + B\sin2t) +(-2A\sin2t + 2B\cos2t)\Bigr] = e^{t}\bigl((A+2B)\cos2t + (B-2A)\sin2t\bigr).
Portanto
x - \dot{x} = e^{t}\bigl(A\cos2t + B\sin2t\bigr) - e^{t}\bigl((A+2B)\cos2t + (B-2A)\sin2t\bigr) = 2e^{t}\bigl(A\sin2t - B\cos2t\bigr),
e assim
y(t) = \frac{x - \dot{x}}{2} = e^{t}\bigl(A\sin2t - B\cos2t\bigr).

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = e^{t}\bigl(A\cos(2t) + B\sin(2t)\bigr), \qquad y(t) = e^{t}\bigl(A\sin(2t) - B\cos(2t)\bigr),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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