Resolva.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear homogêneo de EDOs com coeficientes constantes:
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por redução a uma equação de segunda ordem e uso de equações características.
Passo 2
Vamos eliminar
. Da primeira equação temos
Diferenciando em relação a
obtemos
Substituindo na segunda equação:
Multiplicando tudo por 2:
Passo 3
A equação característica da EDO
é
cuja solução é
Logo a solução geral para
é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para encontrar
, usamos
Calculando
:
Portanto
e assim
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.