Resolva.
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=y \\\ \dot{y}=-4 x+4 y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} \dot{x}=y,\\\ \dot{y}=-4x+4y, \end{cases}
que é equivalente a uma equação de segunda ordem para x(t). Vamos usar essa ideia para achar a solução geral, depois obter y(t) por derivada.

Passo 2

Derivando a primeira equação, obtemos
\ddot{x}=\dot{y}.
Mas da segunda equação temos \dot{y}=-4x+4y. Substituindo,
\ddot{x}=-4x+4y.
Como y=\dot{x}, resulta em
\ddot{x}-4\dot{x}+4x=0.

Passo 3

A equação característica de
\ddot{x}-4\dot{x}+4x=0
é
\lambda^2-4\lambda+4=0.
Resolvendo,
\lambda=(4\pm\sqrt{16-16})/2=2
é raiz dupla.

Passo 4

Para raiz dupla \lambda=2, a solução geral de x(t) é
x(t)=(C_1+C_2\,t)e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. O fator t aparece por ser multiplicidade 2.

Passo 5

Agora obtemos y(t) usando y=\dot{x}. Calculando a derivada de
x(t)=(C_1+C_2\,t)e^{2t},
temos
\dot{x}(t) =\bigl(C_2+2(C_1+C_2\,t)\bigr)e^{2t} =\bigl(2C_1+C_2+2C_2\,t\bigr)e^{2t}.
Logo
y(t)=\dot{x}(t)=(2C_1+C_2+2C_2\,t)\,e^{2t}.

Resposta

x(t)=(C_1+C_2\,t)e^{2t},
y(t)=(2C_1+C_2+2C_2\,t)e^{2t},
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

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