Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for conservativo, determine uma função
tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+\mathbf{k}
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função escalar
tal que
. Para isso vamos usar o critério de que num domínio simplesmente conexo (como
) o campo é conservativo se, e somente se,
.
Passo 2
Calcular o rotacional de
. Se
com
,
,
, então
Calculando cada componente:
Logo
portanto
é conservativo em
.
Passo 3
Como
é conservativo, existe
tal que
. Vamos achar
integrando componente a componente.
Passo 4
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Impondo
, temos
Logo
depende só de
:
.
Passo 6
Impondo
, obtemos
Portanto
Resposta
Uma primitiva válida é
pois
.