Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for conservativo, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} + 1\,\mathbf{k}
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função escalar f tal que \mathbf{F}=\nabla f. Para isso vamos usar o critério de que num domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^3) o campo é conservativo se, e somente se, \nabla\times \mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 2

Calcular o rotacional de \mathbf{F}. Se \mathbf{F}=(P,Q,R) com P=y, Q=x, R=1, então
\nabla\times \mathbf{F} = \Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Calculando cada componente:
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-0=0, \quad \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-0=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-1=0.
Logo
\nabla\times \mathbf{F} = (0,0,0),
portanto \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Como \mathbf{F} é conservativo, existe f(x,y,z) tal que
\nabla f = (f_x,f_y,f_z) = (y,x,1). Vamos achar f integrando componente a componente.

Passo 4

Integramos P=y em relação a x:
f(x,y,z) = \int y\,dx = xy + \varphi(y,z),
onde \varphi é uma “constante” de integração que pode depender de y,z.

Passo 5

Impondo f_y = Q = x, temos
f_y = x + \frac{\partial \varphi}{\partial y} = x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=0
Logo \varphi depende só de z: \varphi=\psi(z).

Passo 6

Impondo f_z = R = 1, obtemos
f_z = \psi'(z)=1 \quad\Longrightarrow\quad \psi(z)=z + C.
Portanto
f(x,y,z)=xy + z + C.

Resposta

Uma primitiva válida é
f(x,y,z)=xy + z,
pois \nabla f=(y,x,1)=\mathbf{F}.

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