Questão 10 Sejam f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável com \left|f^{\prime}(x)\right| \leq L<1, \forall x \in \mathbb{R}, L>0. Prove que existe x_{0} \in \mathbb{R} tal que f\left(x_{0}\right)=x_{0}

Passo 1

O enunciado afirma que f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é derivável e satisfaz \lvert f'(x)\rvert\le L<1 para todo x\in\mathbb{R}. Queremos mostrar que existe x_{0}\in\mathbb{R} tal que
f(x_{0})=x_{0}.
O conteúdo aqui é o Teorema do Ponto Fixo para contrações em \mathbb{R}, que pode ser provado diretamente usando o Teorema do Valor Intermediário e propriedades de funções monótonas.

Passo 2

Definimos a função
g(x)=f(x)-x.
Como f é derivável, g é derivável e
g'(x)=f'(x)-1\le L-1<0.
Portanto g' é sempre negativa, o que implica que g é contínua e estritamente decrescente em \mathbb{R}.

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos ver que g toma valores de sinais opostos quando x\to-\infty e x\to+\infty. Primeiro usamos a desigualdade de Lipschitz em f:
\lvert f(x)-f(0)\rvert \le L\lvert x\rvert \quad\implies\quad \lvert f(x)\rvert \le L\lvert x\rvert + \lvert f(0)\rvert.
Quando x\to+\infty temos \lvert x\rvert=x, então
g(x)=f(x)-x \le L\,x + \lvert f(0)\rvert - x = (L-1)\,x + \lvert f(0)\rvert \longrightarrow -\infty.
Quando x\to-\infty temos \lvert x\rvert=-x, logo
g(x)=f(x)-x \ge -\bigl(L(-x)+\lvert f(0)\rvert\bigr) - x = (L-1)\,x - \lvert f(0)\rvert \longrightarrow +\infty.

Passo 4

Como g é contínua, estritamente decrescente, e tem
\lim_{x\to -\infty}g(x)=+\infty, \quad \lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty,
pelo Teorema do Valor Intermediário existe algum x_{0}\in\mathbb{R} tal que
g(x_{0})=0.
Isso equivale a
f(x_{0})-x_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad f(x_{0})=x_{0}.

Resposta

Existe x_{0}\in\mathbb{R} tal que f(x_{0})=x_{0}.

Exercícios relacionados