Questão 10 Sejam
uma função derivável com
. Prove que existe
tal que
Passo 1
O enunciado afirma que
é derivável e satisfaz
para todo
. Queremos mostrar que existe
tal que
O conteúdo aqui é o Teorema do Ponto Fixo para contrações em
, que pode ser provado diretamente usando o Teorema do Valor Intermediário e propriedades de funções monótonas.
Passo 2
Definimos a função
Como
é derivável,
é derivável e
Portanto
é sempre negativa, o que implica que
é contínua e estritamente decrescente em
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos ver que
toma valores de sinais opostos quando
e
. Primeiro usamos a desigualdade de Lipschitz em
:
Quando
temos
, então
Quando
temos
, logo
Passo 4
Como
é contínua, estritamente decrescente, e tem
pelo Teorema do Valor Intermediário existe algum
tal que
Isso equivale a
Resposta
Existe
tal que
.