Resolva:
\left(\log _{4} x\right)^{2}-5 \log _{4} x+4=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left(\log_{4} x\right)^{2} - 5\log_{4} x + 4 = 0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A incógnita é x.
  • Aparece \log_{4} x, então é obrigatório que x>0 (logaritmo definido apenas para argumentos positivos).
  • A base do logaritmo é 4, que é válida (maior que 0 e diferente de 1).
  • A expressão é um polinômio quadrático em termos de \log_{4} x.

Passo 2

Estratégia matemática (explicação didática): quando aparece um polinômio em \log_{4} x, uma ideia simples e poderosa é fazer uma substituição para transformar a equação em uma quadrática comum. Vou definir
y = \log_{4} x,
onde y é uma nova variável. Isso é permitido porque cada valor de x>0 corresponde a um único y por definição do logaritmo. Substituindo na equação original obtemos uma quadrática em y:
y^{2} - 5y + 4 = 0.
Explicação rápida sobre a substituição: a substituição não altera soluções — estamos apenas reescrevendo a mesma equação em termos de y para facilitar os cálculos. Depois encontraremos y e voltaremos para x usando a definição do logaritmo.

Passo 3

Resolver a quadrática em y: trata-se de uma equação do tipo
y^{2} - 5y + 4 = 0.
Uma forma prática de resolver é tentar fatorar. Procuramos dois números cuja soma seja -5 e cujo produto seja +4. Esses números são -1 e -4, pois (-1) + (-4) = -5 e (-1)\cdot(-4)=4. Portanto a fatoração é
y^{2} - 5y + 4 = (y-1)(y-4).
Assim as raízes são obtidas igualando cada fator a zero:
y-1=0 \quad\Rightarrow\quad y=1,
y-4=0 \quad\Rightarrow\quad y=4.
Comentário didático sobre fatoração: fatorar quadráticas é uma habilidade muito útil em provas porque evita cálculos com fórmula de Bhaskara quando a fatoração é evidente. Se não der para fatorar facilmente, usar a fórmula quadrática é a alternativa.

Passo 4

Voltar de y para x usando a definição de logaritmo. Lembre que, por definição,
\log_{4} x = y \quad\Longleftrightarrow\quad x = 4^{y}.
Aplicando isso para cada valor de y encontrado:
Para y=1:
\log_{4} x = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 4^{1} = 4.
Para y=4:
\log_{4} x = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4^{4} = 256.

Passo 5

Verificação de validade (domínio) e checagem rápida: como exigido, x deve ser positivo. As duas soluções obtidas são x=4 e x=256, ambas positivas, então estão no domínio legítimo da expressão original. Podemos checar substituindo de volta na equação original:
Para x=4: \log_{4}4=1. Então (1)^{2}-5(1)+4=1-5+4=0.
Para x=256: como 256=4^{4}, \log_{4}256=4. Então (4)^{2}-5(4)+4=16-20+4=0.
As duas checagens confirmam que ambas são soluções corretas.

Resposta

x=4
x=256

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