Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A incógnita é
. - Aparece
, então é obrigatório que (logaritmo definido apenas para argumentos positivos). - A base do logaritmo é
, que é válida (maior que e diferente de ). - A expressão é um polinômio quadrático em termos de
.
Passo 2
Estratégia matemática (explicação didática): quando aparece um polinômio em
, uma ideia simples e poderosa é fazer uma substituição para transformar a equação em uma quadrática comum. Vou definir
onde
é uma nova variável. Isso é permitido porque cada valor de
corresponde a um único
por definição do logaritmo. Substituindo na equação original obtemos uma quadrática em
:
Explicação rápida sobre a substituição: a substituição não altera soluções — estamos apenas reescrevendo a mesma equação em termos de
para facilitar os cálculos. Depois encontraremos
e voltaremos para
usando a definição do logaritmo.
Passo 3
Resolver a quadrática em
: trata-se de uma equação do tipo
Uma forma prática de resolver é tentar fatorar. Procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
, pois
e
. Portanto a fatoração é
Assim as raízes são obtidas igualando cada fator a zero:
Comentário didático sobre fatoração: fatorar quadráticas é uma habilidade muito útil em provas porque evita cálculos com fórmula de Bhaskara quando a fatoração é evidente. Se não der para fatorar facilmente, usar a fórmula quadrática é a alternativa.
Passo 4
Voltar de
para
usando a definição de logaritmo. Lembre que, por definição,
Aplicando isso para cada valor de
encontrado:
Para
:
Para
:
Passo 5
Verificação de validade (domínio) e checagem rápida: como exigido,
deve ser positivo. As duas soluções obtidas são
e
, ambas positivas, então estão no domínio legítimo da expressão original. Podemos checar substituindo de volta na equação original:
Para
:
. Então
.
Para
: como
,
. Então
.
As duas checagens confirmam que ambas são soluções corretas.