Resolva:
5 x^{2}-8 x+3 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação quadrática
5x^{2}-8x+3 \leq 0.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A expressão é um polinômio quadrático com coeficientes a=5, b=-8, c=3.
  • Precisamos determinar todos os valores de x que tornam verdadeira a desigualdade \;5x^{2}-8x+3 \leq 0\;.

Passo 2

Primeiro passo habitual: encontrar as raízes (zeros) do polinômio quadrático, porque elas dividem a reta real em intervalos onde o sinal da expressão é constante. Podemos usar o discriminante \Delta da fórmula de Bhaskara:
\Delta = b^{2}-4ac.
Substituindo a=5, b=-8, c=3,
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot5\cdot3 = 64-60 = 4.

Passo 3

Com \Delta=4, as raízes vêm da fórmula
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Calculando:
x = \frac{-(-8)\pm\sqrt{4}}{2\cdot5} = \frac{8\pm 2}{10}.
Isso dá as duas raízes
x_1 = \frac{8-2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \qquad x_2 = \frac{8+2}{10} = \frac{10}{10} = 1.

Passo 4

Agora podemos fatorar o polinômio usando as raízes. Como as raízes são \frac{3}{5} e 1, uma fatoração conveniente é
5x^{2}-8x+3 = (5x-3)(x-1).
Vou verificar rapidamente multiplicando:
(5x-3)(x-1)=5x^{2}-5x-3x+3=5x^{2}-8x+3,
correto.

Passo 5

Entender o sinal da expressão: como o coeficiente líder é a=5>0, a parábola abre para cima. Isso implica que a expressão é positiva para x muito à esquerda e à direita, e pode ficar negativa entre as raízes (ou nula nas raízes). Em termos simples, para um quadrático com a>0 temos:
  • expressão \leq 0 no intervalo entre as raízes (inclusive se a desigualdade permitir igualdade),
  • expressão \geq 0 fora desse intervalo.

Passo 6

Fazendo um teste de sinais com a fatoração (5x-3)(x-1):
  • Para x<\tfrac{3}{5}: 5x-3<0 e x-1<0 → produto >0.
  • Para \tfrac{3}{5}<x<1: 5x-3>0 e x-1<0 → produto <0.
  • Para x>1: 5x-3>0 e x-1>0 → produto >0.
    Como a desigualdade é \leq 0, aceitamos os pontos onde o produto é negativo e também onde é zero (as raízes).

Passo 7

Portanto a solução da inequação é o intervalo fechado entre as raízes:
\boxed{\left[\tfrac{3}{5},\,1\right]}.

Resposta

\left[\tfrac{3}{5},\,1\right]

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