Resolva:
Passo 1
O enunciado pede os valores de
que satisfazem a desigualdade
Informações relevantes dadas: a expressão envolve
, logo devemos lembrar que
está definida apenas para
. A tarefa é encontrar todos os
que tornam a expressão verdadeira.
Passo 2
Para facilitar, faço a substituição
Motivo: assim a desigualdade vira uma desigualdade polinomial em
, que é mais fácil de resolver. Observação importante: como
mapeia
em
, o novo
pode ser qualquer número real, ou seja
.
Passo 3
Substituindo
na desigualdade obtemos
Agora vamos resolver essa desigualdade quadrática em
.
Passo 4
Fatoramos o polinômio:
As raízes são
e
, pois
ou
. Para saber onde o produto
é menor ou igual a zero, usamos a ideia do sinal: um produto de dois fatores é não-positivo quando os fatores têm sinais opostos ou quando algum fator é zero. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima e a expressão é ≤0 entre as raízes. Logo
(Verificação rápida: para
temos
, ou seja, interior funciona; nas extremidades o valor é zero.)
Passo 5
Voltando para
usando
, temos
Aplicamos a função exponencial, que é estritamente crescente, em todos os termos; como é crescente, as desigualdades se preservam:
Observação:
, então o intervalo fica
.
Passo 6
Cheque rápido dos extremos para garantir que são permitidos: para
temos
e
; para
temos
e
. Um ponto interno, por exemplo
, dá
e
. Tudo consistente.