Resolva:
(\ln x)^{2}-4 \ln x+3 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede os valores de x que satisfazem a desigualdade
(\ln x)^{2}-4\ln x+3 \leq 0.
Informações relevantes dadas: a expressão envolve \ln x, logo devemos lembrar que \ln x está definida apenas para x>0. A tarefa é encontrar todos os x>0 que tornam a expressão verdadeira.

Passo 2

Para facilitar, faço a substituição
t=\ln x.
Motivo: assim a desigualdade vira uma desigualdade polinomial em t, que é mais fácil de resolver. Observação importante: como \ln mapeia (0,\infty) em (-\infty,\infty), o novo t pode ser qualquer número real, ou seja t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Substituindo \,t=\ln x na desigualdade obtemos
t^{2}-4t+3 \leq 0.
Agora vamos resolver essa desigualdade quadrática em t.

Passo 4

Fatoramos o polinômio:
t^{2}-4t+3=(t-1)(t-3).
As raízes são t=1 e t=3, pois t-1=0 ou t-3=0. Para saber onde o produto (t-1)(t-3) é menor ou igual a zero, usamos a ideia do sinal: um produto de dois fatores é não-positivo quando os fatores têm sinais opostos ou quando algum fator é zero. Como o coeficiente de t^{2} é positivo, a parábola abre para cima e a expressão é ≤0 entre as raízes. Logo
t\in[1,3].
(Verificação rápida: para t=2 temos 2^{2}-4\cdot2+3=4-8+3=-1\leq0, ou seja, interior funciona; nas extremidades o valor é zero.)

Passo 5

Voltando para x usando t=\ln x, temos
\ln x\in[1,3].
Aplicamos a função exponencial, que é estritamente crescente, em todos os termos; como é crescente, as desigualdades se preservam:
x\in\big[e^{1},e^{3}\big].
Observação: e^{1}=e, então o intervalo fica [e,e^{3}].

Passo 6

Cheque rápido dos extremos para garantir que são permitidos: para x=e temos \ln x=1 e (1)^{2}-4\cdot1+3=0\leq0; para x=e^{3} temos \ln x=3 e 9-12+3=0\leq0. Um ponto interno, por exemplo x=e^{2}, dá \ln x=2 e 4-8+3=-1\leq0. Tudo consistente.

Resposta

[e,e^{3}]

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