Resolva:
\log _{x-3}(2 x-6)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{x-3}(2x-6)=2.
Informações e elementos relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • A expressão é um logaritmo com base x-3.
  • O argumento do logaritmo é 2x-6.
  • O valor do logaritmo é 2.
  • Precisamos lembrar as restrições que um logaritmo impõe (essas restrições não estão escritas no enunciado, mas são informações relevantes para decidir quais soluções são válidas).

Passo 2

Relembrando a definição e as condições de existência do logaritmo (aqui explico devagar, como combinamos):
  • Definição: se tivermos \log_a b = c, isso significa, por definição, que
a^c = b.
Nesse enunciado, a é a base do logaritmo e b é o argumento.
  • Condições para o logaritmo existir:
    • A base a deve ser positiva: a>0.
    • A base não pode ser 1: a\neq 1.
    • O argumento b deve ser positivo: b>0.
Exemplo rápido para fixar: \log_2 8 = 3 porque 2^3 = 8. Aqui a=2>0, a\neq1 e b=8>0, tudo ok.

Passo 3

Aplicando a definição do logaritmo à nossa equação. Da igualdade
\log_{x-3}(2x-6)=2
seguimos que a base elevada a 2 é igual ao argumento, isto é:
(x-3)^2 = 2x-6.

Passo 4

Simplificar a equação encontrada. Observe que 2x-6 = 2(x-3). Substituindo, temos
(x-3)^2 = 2(x-3).
Para facilitar, fazemos a substituição temporária y = x-3. Assim a equação vira
y^2 = 2y.

Passo 5

Resolver a equação em y:
y^2 - 2y = 0
y(y-2) = 0.
Portanto as soluções para y são y=0 ou y=2.
Voltando para x pela substituição y = x-3:
  • Se y=0, então x-3=0 e x=3.
  • Se y=2, então x-3=2 e x=5.

Passo 6

Agora precisamos testar as restrições do logaritmo para cada candidato x:
  • Para x=3:
    • A base é x-3 = 0. Isso viola a condição a>0 (base deve ser positiva) e também a base não pode ser 1. Além disso, o argumento é 2x-6 = 0, e o argumento deve ser positivo. Logo x=3 é inválido e deve ser descartado.
  • Para x=5:
    • A base é x-3 = 2, que satisfaz 2>0 e 2\neq1.
    • O argumento é 2x-6 = 4, que satisfaz 4>0.
    • Podemos verificar diretamente: \log_{2}4 = 2 porque 2^2=4. Então x=5 é uma solução válida.

Resposta

5

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