Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações e elementos relevantes fornecidos pelo enunciado:
- A expressão é um logaritmo com base
. - O argumento do logaritmo é
. - O valor do logaritmo é
. - Precisamos lembrar as restrições que um logaritmo impõe (essas restrições não estão escritas no enunciado, mas são informações relevantes para decidir quais soluções são válidas).
Passo 2
Relembrando a definição e as condições de existência do logaritmo (aqui explico devagar, como combinamos):
- Definição: se tivermos
, isso significa, por definição, que
Nesse enunciado,
é a base do logaritmo e
é o argumento.
- Condições para o logaritmo existir:
- A base
deve ser positiva: . - A base não pode ser
: . - O argumento
deve ser positivo: .
- A base
Exemplo rápido para fixar:
porque
. Aqui
,
e
, tudo ok.
Passo 3
Aplicando a definição do logaritmo à nossa equação. Da igualdade
seguimos que a base elevada a
é igual ao argumento, isto é:
Passo 4
Simplificar a equação encontrada. Observe que
. Substituindo, temos
Para facilitar, fazemos a substituição temporária
. Assim a equação vira
Passo 5
Resolver a equação em
:
Portanto as soluções para
são
ou
.
Voltando para
pela substituição
:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Passo 6
Agora precisamos testar as restrições do logaritmo para cada candidato
:
- Para
: - A base é
. Isso viola a condição (base deve ser positiva) e também a base não pode ser . Além disso, o argumento é , e o argumento deve ser positivo. Logo é inválido e deve ser descartado.
- A base é
- Para
: - A base é
, que satisfaz e . - O argumento é
, que satisfaz . - Podemos verificar diretamente:
porque . Então é uma solução válida.
- A base é