Resolva:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Este é um caso típico de equação exata: temos
. Vamos primeiro checar a exatidão (isto é, se
), e depois encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
satisfazendo
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
. Calculamos
a partir da expressão acima:
Devemos ter
. Logo
Integrando em
,
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa (absorvendo
em uma constante geral
):
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
isto é,