Resolva: \left(\frac{y}{x}+x\right) d x+\left(\ln x+y^{2}\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\Bigl(\frac{y}{x}+x\Bigr)\,dx + \bigl(\ln x + y^{2}\bigr)\,dy = 0
Este é um caso típico de equação exata: temos M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Vamos primeiro checar a exatidão (isto é, se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x), e depois encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_x = M \quad\text{e}\quad \psi_y = N.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = \frac{y}{x} + x, \qquad N(x,y) = \ln x + y^{2}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x}+x\Bigr) = \frac{1}{x},
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln x + y^{2}\bigr) = \frac{1}{x}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \psi(x,y) satisfazendo \psi_x = M. Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y) = \int\Bigl(\frac{y}{x} + x\Bigr)\,dx = y\int\frac{1}{x}\,dx + \int x\,dx = y\ln x + \frac{x^{2}}{2} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos \psi_y = N. Calculamos \psi_y a partir da expressão acima:
\psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(y\ln x + \tfrac{x^{2}}{2} + h(y)\Bigr) = \ln x + h'(y).
Devemos ter \psi_y = N = \ln x + y^{2}. Logo
\ln x + h'(y) = \ln x + y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = y^{2}.
Integrando em y,
h(y) = \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3} + C_{1}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \psi(x,y), obtemos a função potencial completa (absorvendo C_{1} em uma constante geral C):
\psi(x,y) = y\ln x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{3}.
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
\psi(x,y) = C,
isto é,
\frac{x^{2}}{2} + y\ln x + \frac{y^{3}}{3} = C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} + y\ln x + \frac{y^{3}}{3} = C.

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