Resolva o PVI: y^{\prime}=\frac{y}{x}+e^{y / x}, y(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y' = \frac{y}{x} + e^{y/x},\quad y(1)=0.
Este é um EDO de primeira ordem que sugere a substituição \displaystyle u=\frac{y}{x}, pois aparece o termo y/x.

Passo 2

Definindo \displaystyle u = \frac{y}{x} temos
y = x\,u \quad\Longrightarrow\quad y' = u + x\,u'.
Substituindo em
y' = \frac{y}{x} + e^{y/x}
vem
u + x\,u' = u + e^u
e, cancelando u,
x\,u' = e^u.

Passo 3

Reescrevendo como separável:
\frac{du}{dx} = \frac{e^u}{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{-u}\,du = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int e^{-u}\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,e^{-u} = \ln|x| + C.

Passo 4

Isolando e^{-u}:
e^{-u} = -\ln|x| + C_1.
Denotando C_1 por C e tirando o logaritmo:
e^{-u} = C - \ln x \quad\Longrightarrow\quad -u = \ln\bigl(C - \ln x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad u = -\ln\bigl(C - \ln x\bigr).
Como y = x\,u,
y = -\,x\,\ln\bigl(C - \ln x\bigr).

Passo 5

Aplica a condição inicial y(1)=0:
y(1) = -1\cdot \ln\bigl(C - \ln 1\bigr) = -\ln C = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Resposta

\boxed{y(x) = -\,x\,\ln\bigl(1 - \ln x\bigr).}

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