Resolva os limites abaixo:
lim x 0 e^x^2 tg(x)e^x x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver o limite quando $ x $ se aproxima de 0 para a expressão x . Aqui estamos lidando com limites, exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de 0 e usar algumas propriedades de limites e séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que $ e{x{2}} $ e $ e^{x} $ são exponenciais que podemos expandir em séries de Taylor perto de 0. A tan(x) também pode ser aproximada usando sua série de Taylor. Vamos escrever cada parte em termos de suas expansões:
e^x^2
e^x á
e^x^2 approx 1 + x^2 (porque os termos de ordem superior se anulam quando x 0)

Passo 3

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
e^x^2 tan(x)e^x x approx (1 + x^2) cdot x(1 + x) cdot x
Note que o $ x $ no numerador e denominator cancela:
x

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão resultante:
1 + x^21 + x
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ x^{2} $ também se aproxima de 0, então a expressão fica:
x

Resposta

O limite é igual a 1.

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