Resolva os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver o limite quando $ x $ se aproxima de 0 para a expressão
. Aqui estamos lidando com limites, exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de 0 e usar algumas propriedades de limites e séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que $ e{x{2}} $ e $ e^{x} $ são exponenciais que podemos expandir em séries de Taylor perto de 0. A tan(x) também pode ser aproximada usando sua série de Taylor. Vamos escrever cada parte em termos de suas expansões:
Passo 3
Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
Note que o $ x $ no numerador e denominator cancela:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão resultante:
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ x^{2} $ também se aproxima de 0, então a expressão fica:
Resposta
O limite é igual a 1.