Resolva os limites abaixo usando as propriedades dos limites
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1+3 x}{1+4 x^{2}+3 x^{4}}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to1}\Bigl(\frac{1+3x}{1+4x^2+3x^4}\Bigr)^{3}
usando propriedades de limites, em particular a regra do quociente e a regra da potência.

Passo 2

Aplicamos a propriedade da potência: se \lim_{x\to1}f(x)=L existe, então
\lim_{x\to1}[f(x)]^{3} = \bigl(\lim_{x\to1}f(x)\bigr)^{3}.

Passo 3

Agora defina
f(x)=\frac{1+3x}{1+4x^2+3x^4}.
Pela propriedade do quociente, como o denominador não se anula em x=1, temos
\lim_{x\to1}f(x) =\frac{\lim_{x\to1}(1+3x)}{\lim_{x\to1}(1+4x^2+3x^4)}.

Passo 4

Calculando separadamente:
\lim_{x\to1}(1+3x)=1+3\cdot1=4,
\lim_{x\to1}(1+4x^2+3x^4)=1+4\cdot1^2+3\cdot1^4=8.
Logo
\lim_{x\to1}f(x)=\frac{4}{8}=\frac12.

Passo 5

Finalmente, elevando ao cubo:
\lim_{x\to1}\Bigl(f(x)\Bigr)^{3} =\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3} =\tfrac18.

Resposta

\displaystyle \tfrac18

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