Questão 1
Ainda näo respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Considere a equação diferencial ordinária x y^{\prime}(x)-y(x)=x^{2}. Marque a alternativa que corresponde a uma solução da EDO:
a. y(x)=3 x+x^{2}
b. y(x)=x+x^{2}
c. y(x)=x+3 x^{2}
d. y(x)=3 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x\,y'(x) - y(x) = x^2
Queremos encontrar uma função y(x) que satisfaça essa equação. O conteúdo é equação diferencial linear de 1ª ordem; basta escrever na forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividimos por x (supondo x\neq0) para ter a forma
y'(x) - \frac{1}{x}\,y(x) = x
Aqui o coeficiente de y é -1/x. O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x}\,dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}.

Passo 3

Multiplicando toda a equação por \mu(x)=1/x obtemos
\frac{1}{x}y'(x) - \frac{1}{x^2}y(x) = 1
que é equivalente a
\Bigl(\frac{y(x)}{x}\Bigr)' = 1.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x,
\frac{y(x)}{x} = \int 1\,dx = x + C,
onde C é constante de integração. Logo
y(x) = x\,(x + C) = x^2 + C\,x.

Passo 5

Concluímos que a solução geral é
y(x) = x^2 + C\,x.
Entre as alternativas dadas temos duas funções desse tipo:
a. y(x)=3x+x^2 (aqui C=3)
b. y(x)=x+x^2 (aqui C=1)

Resposta

As alternativas (a) e (b) são soluções particulares da EDO.

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