Resolva os limites, fugindo das indeterminações
+infty-(+infty),-infty-(-infty), 0 cdot infty, inftyinfty, 00, 1^infty, 0^0, infty^0.
lim x 12^+ 3 x+14 x^2-1

Passo 1

O enunciado nos lembra as oito formas indeterminadas clássicas em cálculo de limites e pede para reconhecer que, apenas pela forma, não se sabe o valor do limite, e em seguida calcula o caso concreto
limxto tfrac12^+3x+14x^2-1

Passo 2

Recordemos que as seguintes expressões são chamadas de “formas indeterminadas”, pois sem mais detalhes sobre as funções que as originam não é possível obter um valor ou comportamento do limite apenas pela forma:
+infty-(+infty), -infty-(-infty), 0cdotinfty, inftyinfty, 00, 1^infty, 0^0, infty^0
Em cada caso, dependendo das funções envolvidas, o limite pode ser finito, infinito ou mesmo não existir.

Passo 3

Vamos ao limite concreto
L=limxto tfrac12^+3x+14x^2-1
Primeiro, avaliamo-mos numerador e denominador em x=tfrac12:
3l(tfrac12r)+1=tfrac32+1=tfrac52neq 0,
4l(tfrac12r)^2-1=4cdottfrac14-1=1-1=0
Logo a forma é tfracnão-zero0ã, que não é indeterminação de 0/0, mas tende a infinito com sinal determinado.

Passo 4

Basta agora verificar o sinal de 4x^2-1 quando xtotfrac12^+:
para x>tfrac12 tem-se 4x^2>1, logo 4x^2-1>0.
O numerador 3x+1 é positivo em torno de x=tfrac12.

Passo 5

Como numerador tende a +tfrac52>0 e denominador tende a 0^+, o quociente cresce sem limite, ou seja
L=+infty

Resposta

Todas as formas listadas são indeterminadas, isto é, não têm valor fixo sem mais informações.
limxto tfrac12^+3x+14x^2-1=+infty

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