Resolva os limites a seguir se existirem:
lim x 0 x+sen(x)x+cos (x)-1

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limxto0x+sin(x)x+cos(x)-1
O conteúdo aqui é cálculo de limite que assume forma indeterminada tfrac00. Para resolver, usaremos a expansão em série de Taylor de sin(x) e cos(x) em torno de x=0.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo x=0:
numerador =0+sin(0)=0,
denominador =0+cos(0)-1=0.
Logo é uma indeterminação do tipo tfrac00.

Passo 3

Escrevemos as expansões de Taylor até ordem necessária:
sin(x)=x-x^36+o(x^3), cos(x)=1-x^22+o(x^2)

Passo 4

Substituímos nas expressões do numerador e do denominador:
numerador
x+sin(x)=x+l(x-x^36+o(x^3)r) =2x-x^36+o(x^3),
denominador
x+cos(x)-1 =x+l(1-x^22+o(x^2)r)-1 =x-x^22+o(x^2)

Passo 5

Fatoramos x em cima e embaixo:
2x-x^36+o(x^3)x-x^22+o(x^2) =xl(2-x^26+o(x^2)r)xl(1-x2+o(x)r) =2-x^26+o(x^2)1-x2+o(x)
À medida que xto0, o quociente acima tende a tfrac21=2.

Resposta

O limite existe e vale 2.

Exercícios relacionados