Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva definida por
no ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui é a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada de funções onde
está misturado com
de forma que não dá pra isolar o
facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde
está misturado com
, como nesse caso, diferenciar diretamente pode ser complicado. A derivação implícita nos permite encontrar
sem precisar resolver a equação para
.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Aqui, derivamos o argumento da seno, que é
, resultando em
.
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Reorganizando os termos que contêm
:
Factorando
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Passo 7
Agora, substituímos as coordenadas do ponto
na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Primeiro, calculamos
em
:
Então,
.
Substituindo na derivada:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
Simplificando: