Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva sen(x^2-y^2)=x-y no ponto (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva definida por sin(x^2-y^2) = x - y no ponto (1,1). O conteúdo que vamos usar aqui é a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada de funções onde y está misturado com x de forma que não dá pra isolar o y facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde y está misturado com x, como nesse caso, diferenciar diretamente pode ser complicado. A derivação implícita nos permite encontrar dydx sem precisar resolver a equação para y.

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x:
ddx[sin(x^2-y^2)] = ddx[x - y]

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
cos(x^2-y^2) cdot (2x - 2y cdot dydx) = 1 - dydx
Aqui, derivamos o argumento da seno, que é x^2 - y^2, resultando em 2x - 2ydydx.

Passo 5

Agora, vamos isolar dydx:
cos(x^2-y^2) cdot 2x - cos(x^2-y^2) cdot 2y cdot dydx = 1 - dydx
Reorganizando os termos que contêm dydx:
-cos(x^2-y^2) cdot 2y cdot dydx + dydx = 1 - cos(x^2-y^2) cdot 2x
Factorando dydx:
dydx (1 - 2y cos(x^2-y^2)) = 1 - 2x cos(x^2-y^2)

Passo 6

Finalmente, isolamos dydx:
dydx = 1 - 2x cos(x^2-y^2)1 - 2y cos(x^2-y^2)

Passo 7

Agora, substituímos as coordenadas do ponto (1,1) na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Primeiro, calculamos x^2 - y^2 em (1,1):
1^2 - 1^2 = 0
Então, cos(0) = 1.
Substituindo na derivada:
dydx = 1 - 2(1)(1)1 - 2(1)(1) = 1 - 21 - 2 = -1-1 = 1

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1,1) é:
y - 1 = 1 cdot (x - 1)
Simplificando:
y = x

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