Calcule as derivadas das funções a seguir:
ln (9 x^3)2^x^100

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=lnl(9x^3r)2^x^100
Aqui vamos usar conteúdo de derivada de logaritmo, da função exponencial generalizada (base 2) e a regra do quociente (ou, equivalentemente, a regra do produto + cadeia).

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares:
u(x)=lnl(9x^3r), v(x)=2^x^100
Para derivar, aplicamos as fórmulas:
u'(x)=ddxlnl(9x^3r)=3x,
pois ln(9x^3)=ln9+3ln x, e
v'(x)=ddx2^x^100=2^x^100cdotl(x^100r)'cdotln2 =2^x^100cdot100x^99ln2

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=nu'(x)v(x)-nu(x)v'(x)l(v(x)r)^2

Passo 4

Substituindo nu,nu',v,v' e simplificando (observando que v(x)=2^x^100 aparece em todos os termos):
f'(x)=tfrac3x,2^x^100-lnl(9x^3r),2^x^100,100x^99ln2l(2^x^100r)^2 =2^-x^100l(3x-100x^99ln2,ln(9x^3)r)

Passo 5

Ficando assim a forma final, já bem simplificada, expressa em termos da base 2 elevada a -x^100.

Resposta

f'(x)=2^-x^100l(3x-100x^99ln2,ln(9x^3)r)

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