Resolva os limites a seguir:
lim x 1(1-x) cdot tg(pi x2)
R.: 2 / pi
Observação sobre o exercício 14: 0 * infty é igualmente uma indeterminação, e pode ser transformada em 0/0 através de manipulação.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto1(1-x)tanl(tfracpi x2r). Isso envolve uma indeterminação do tipo 0cdotinfty, então vamos precisar transformar em uma forma 0/0 para usar limites trigonométricos clássicos.

Passo 2

Para lidar com isso, fazemos a substituição h = 1 - x. Quando xto1, hto0. A expressão original fica:
h,tanl(tfracpi(1-h)2r)

Passo 3

Note que
tanl(tfracpi(1-h)2r) =tanl(tfracpi2-tfracpi h2r) =cotl(tfracpi h2r)
Então nosso limite vira
hcotl(tfracpi h2r) =htanl(tfracpi h2r)

Passo 4

Agora usamos o limite fundamental
limuto0tan(u)u=1
e a aproximação tan(tfracpi h2)simtfracpi h2. Logo,
limhto0htanl(tfracpi h2r) =limhto0htfracpi h2=2pi

Resposta

2/pi

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