Encontre uma substituição apropriada para resolver
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a equação diferencial de primeira ordem
x y′ = y ln(xy)
O conteúdo envolvido é resolver uma equação diferencial usando uma substituição que torne a equação separável.
Passo 2
Fazer a substituição adequada: Definimos
u = \ln(xy)
Para relacionar u a y′, derivamos ambos os lados em relação a x:
u = \ln x + \ln y =>
\frac{du}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{y′}{y}
\frac{du}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{y′}{y}
Isolando y′:
y′ = y\Bigl(\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}\Bigr).
Passo 3
Substituir na equação original: Em x y′ = y ln(xy), fazemos y′ da etapa anterior e ln(xy)=u:
x\Bigl[y\Bigl(\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}\Bigr)\Bigr] = y u
Dividindo por y e simplificando:
x\frac{du}{dx}-1 = u
Logo obtemos a equação em u:
Passo 4
Tornar a equação separável: Reescrevemos
x\frac{du}{dx} = u+1
Separando variáveis:
\frac{du}{u+1} = \frac{dx}{x}
Agora integramos ambos os lados.
Passo 5
Integrar e voltar à variável y: Integrando:
\int \frac{du}{u+1} = \int \frac{dx}{x} => \ln|u+1| = \ln|x| + C
Substituindo u=\ln(xy) e exponenciando:
eu+1 = C’ x => \ln(xy)+1 = C’x
Logo a solução implícita é
\ln(xy) = C’x -1
e, exponenciando novamente, obtemos a forma explícita.