Resolva os limites a seguir: lim x 1 raiz[3]x^2+x-3+raiz[3]3 x-2raizx^2+x+2-raiz3 x+1 (1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto1 dfracraiz[3]x^2+x-3+raiz[3]3x-2raizx^2+x+2-raiz3x+1. O conteúdo é limites de indeterminação do tipo 0/0 envolvendo raízes (cúbicas e quadradas). Vamos precisar reconhecer a forma indeterminada e aplicar técnicas de racionalização e expansão assintótica.

Passo 2

Primeiro, avalio diretamente em x=1: o numerador fica raiz[3]1+1-3+raiz[3]3-2=-1+1=0 e o denominador fica raiz1+1+2-raiz3+1=2-2=0. Logo temos uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Para lidar com as raízes quadradas no denominador, racionalizo multiplicando numerador e denominador pela conjugada raizx^2+x+2+raiz3x+1. Assim

No denominador simplifica-se
raiz[3]x^2+x-3+raiz[3]3x-2raizx^2+x+2-raiz3x+1ncdotraizx^2+x+2+raiz3x+1raizx^2+x+2+raiz3x+1;=;(raiz[3]x^2+x-3+raiz[3]3x-2),l(raizx^2+x+2+raiz3x+1r)x^2+x+2-(3x+1)

Passo 4

Então o limite vira
limxto1(raiz[3]x^2+x-3+raiz[3]3x-2),l(raizx^2+x+2+raiz3x+1r)(x-1)^2

Passo 5

Agora analisamos o comportamento perto de x=1. Seja h=x-1. Para as raízes cúbicas definimos
u(x)=x^2+x-3, v(x)=3x-2
Em x=1 temos u(1)=-1 e u'(1)=3, então para |h| pequeno
raiz[3]u(x)=raiz[3]-1+3h=raiz[3]-1raiz[3]1-3h=-1l(1-3hr)^1/3approx -1l(1-tfrac3h3r)=-1+h
Similarmente, v(1)=1 e v'(1)=3 dão
raiz[3]v(x)=raiz[3]1+3happrox 1+tfrac3h3=1+h
Logo o somatório das cúbicas se comporta como
raiz[3]x^2+x-3+raiz[3]3x-2approx(-1+h)+(1+h)=2h

Passo 6

Para a soma das raízes quadradas no numerador racionalizado, em x=1 cada raiz vale 2, então
raizx^2+x+2+raiz3x+1to 2+2=4

Passo 7

Substituindo, o quociente fica aproximadamente
2hcdot4h^2=8hh^2=8h,que, ao fazer hto0, diverge: vai para +infty se h>0 (ou seja, x>1) e para -infty se h<0 (ou seja, x<1).

Resposta

O limite não existe como número finito; diverge para +∞ na aproximação pela direita e para −∞ pela esquerda.

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