Encontre a série de Maclaurin de f(x). f(x)=cos 2 x.

Passo 1

O problema pede a série de Maclaurin de f(x)=cos(2x). Estamos trabalhando com desenvolvimento em série de Taylor em torno de x0=0. Para isso, precisamos lembrar da série de Maclaurin da função cos u e então fazer a substituição u=2x.

Passo 2

A série de Maclaurin (ou Taylor em torno de zero) de cos u é dada por:
cos u=sumn=0^infty(-1)^nu^2n(2n)!
Esse resultado vem de derivar cos u várias vezes, avaliar em u=0 e identificar o padrão dos coeficientes.

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=2x na série acima:
cos(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)!

Passo 4

Podemos simplificar o termo (2x)^2n como 2^2nx^2n. Então a série fica:
cos(2x)=sumn=0^infty(-1)^n2^2nx^2n(2n)!

Passo 5

Para dar mais intuição, escrevemos os primeiros termos explicitamente:
cos(2x)=1-(2x)^22!+(2x)^44!-(2x)^66!+cdots
ou seja
cos(2x)=1-2x^2+2^4x^424-2^6x^6720+cdots

Resposta

A série de Maclaurin de cos(2x) é
cos(2x)=sumn=0^infty(-1)^n2^2n(2n)!,x^2n

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