Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo abaixo: (2,0 Pontos)
h(x)=\left(x^{2}+x\right) \cdot\left(x^{3}-2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
h(x) = \bigl(x^{2}+x\bigr)\,\bigl(x^{3}-2x\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra do produto, que nos permite derivar o produto de duas funções.

Passo 2

A regra do produto diz que, se definirmos
u(x)=\bigl(x^{2}+x\bigr) \quad\text{e}\quad v(x)=\bigl(x^{3}-2x\bigr),
então
h'(x) = \bigl(u(x)\,v(x)\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculemos as derivadas de u e v:
u(x)=x^{2}+x \quad\Longrightarrow\quad u'(x)=2x+1,
v(x)=x^{3}-2x \quad\Longrightarrow\quad v'(x)=3x^{2}-2.

Passo 4

Aplicando a regra do produto, temos
h'(x) = \bigl(2x+1\bigr)\,\bigl(x^{3}-2x\bigr) + \bigl(x^{2}+x\bigr)\,\bigl(3x^{2}-2\bigr).

Passo 5

Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
\begin{aligned} h'(x) &= (2x+1)\,x^{3} - (2x+1)\,2x + (x^{2}+x)\,3x^{2} - (x^{2}+x)\,2\\\ &= 2x^{4} + x^{3} -4x^{2} -2x + 3x^{4} +3x^{3} -2x^{2} -2x\\\ &= (2x^{4}+3x^{4}) + (x^{3}+3x^{3}) +(-4x^{2}-2x^{2}) +(-2x-2x)\\\ &= 5x^{4} + 4x^{3} -6x^{2} -4x. \end{aligned}

Resposta

h'(x)=5x^{4}+4x^{3}-6x^{2}-4x.

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