Use a regra da cadeia para achar d z / d t ou d w / d t
z=cos (x+4 y), x=5 t^4, y=1 / y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de $ z $ em relação ao tempo $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia. O enunciado nos dá que:
z
Então, vamos precisar entender como cada variável depende de $ t $ e aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função que depende de outra função. Nesse caso, $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $. A regra da cadeia nos diz que:
z
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais e totais passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
z
x

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
x
y

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia que vimos no Passo 2:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Substituindo os valores que encontramos:
dzdt = (-sin(x + 4y))(20t^3) + (-4sin(x + 4y))(-1t^2)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
dzdt = -20t^3sin(x + 4y) + 4t^2sin(x + 4y)
Podemos fatorar $ \sin(x + 4y) $:
sin(x + 4y)

Passo 7

Finalmente, substituímos $ x = 5t^{4} $ e $ y = \frac{1}{t} $ na expressão:
x = 5t^4
Então, a derivada fica:
y = 1t

Resposta

A derivada de $ z $ em relação a $ t $ é:
z

Exercícios relacionados