Use a regra da cadeia para achar
ou
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de $ z $ em relação ao tempo $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia. O enunciado nos dá que:
Então, vamos precisar entender como cada variável depende de $ t $ e aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função que depende de outra função. Nesse caso, $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $. A regra da cadeia nos diz que:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais e totais passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia que vimos no Passo 2:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar $ \sin(x + 4y) $:
Passo 7
Finalmente, substituímos $ x = 5t^{4} $ e $ y = \frac{1}{t} $ na expressão:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada de $ z $ em relação a $ t $ é: