Resolva:
3 x^{2}-5 x \geq x^{2}+4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
3x^{2}-5x \geq x^{2}+4x.
Informações dadas:
\text{Expressão à esquerda: }3x^{2}-5x.ãà
\text{Expressão à direita: }x^{2}+4x.ãà
A tarefa é encontrar todos os valores de x reais que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: levar todos os termos para um lado para obter a forma padrão de uma desigualdade quadrática. Subtraio x^{2}+4x de ambos os lados:
3x^{2}-5x-(x^{2}+4x)\geq 0.
Agora faço as operações dentro da expressão:
3x^{2}-x^{2}=2x^{2},
-5x-4x=-9x.
Logo a desigualdade fica
2x^{2}-9x \geq 0.

Passo 3

Explico uma técnica útil: fatoração. Quando possível, fatorar a expressão facilita muito a análise de sinal. Na expressão \,2x^{2}-9x\, há um fator comum x. Coloco em evidência:
2x^{2}-9x = x(2x-9).
Para encontrar os pontos onde a expressão vale zero (as raízes), resolvo cada fator igual a zero:
x=0
e
2x-9=0 \implies x=\frac{9}{2}.
Esses dois pontos dividem a reta real em intervalos onde o sinal do produto x(2x-9) é constante.

Passo 4

Agora a análise de sinais. Temos um produto de dois fatores: x e 2x-9. Para saber onde o produto é maior ou igual a zero, verificamos o sinal de cada fator em cada intervalo determinado pelas raízes -\infty, 0 e \frac{9}{2}.
Intervalos a considerar:
(-\infty,0),\qquad (0,\tfrac{9}{2}),\qquad (\tfrac{9}{2},\infty).
Escolhendo um ponto teste em cada intervalo:
  • Para x=-1 (no intervalo (-\infty,0)):
x=-1 \implies x<0 \quad\text{(negativo)}
2x-9 = 2(-1)-9 = -11 \quad\text{(negativo)}
Produto: negativo \times negativo = positivo.
  • Para x=1 (no intervalo (0,\tfrac{9}{2})):
x=1 \implies x>0 \quad\text{(positivo)}
2x-9 = 2(1)-9 = -7 \quad\text{(negativo)}
Produto: positivo \times negativo = negativo.
  • Para x=5 (no intervalo (\tfrac{9}{2},\infty)):
x=5 \implies x>0 \quad\text{(positivo)}
2x-9 = 2(5)-9 = 1 \quad\text{(positivo)}
Produto: positivo \times positivo = positivo.
Além disso, nos pontos x=0 e x=\tfrac{9}{2} o produto vale exatamente zero, porque um dos fatores anula a expressão.
Como a desigualdade é \geq 0, aceitamos os intervalos onde o produto é positivo e também os pontos onde o produto é zero.

Passo 5

Resumo da análise de sinais (sem escrever a resposta final aqui): o produto x(2x-9) é positivo em (-\infty,0) e em (\tfrac{9}{2},\infty), negativo em (0,\tfrac{9}{2}) e vale zero em x=0 e x=\tfrac{9}{2}. Como queremos onde é \geq 0, devemos incluir as partes positivas e também os zeros.

Resposta

(-\infty,0]\cup\left[\tfrac{9}{2},\infty\right)

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