Utilize deslocamento para fazer um esboço do gráfico das seguintes funções e determine o domínio das mesmas:
(g) f(x)=|ln (x+2)-3|

Passo 1

O enunciado apresenta a função f(x)=|ln(x+2)-3|. O conteúdo é transformações de função logarítmica e valor absoluto, e vamos usar deslocamentos de gráficos.

Passo 2

Para existir ln(x+2), precisamos de x+2>0, logo x>-2. Assim o domínio de f é (-2,infty).

Passo 3

Primeiro esboçamos y=ln(x+2) a partir de y=ln(x), deslocando 2 unidades para a esquerda. O gráfico tem assíntota vertical em x=-2 e cresce lentamente.
Em seguida, consideramos y=ln(x+2)-3, que é o gráfico anterior deslocado 3 unidades para baixo. Cada ponto cai 3 unidades, mas a forma geral e a assíntota permanecem.

Passo 4

Finalmente, aplicamos o módulo: f(x)=|ln(x+2)-3| reflete sobre o eixo x todas as partes de ln(x+2)-3 que ficaram negativas. O ponto onde ln(x+2)-3=0 é x=e^3-2. Para x, f(x)=3-ln(x+2) (ramo decrescente de +infty até 0), e para x>e^3-2, f(x)=ln(x+2)-3 (ramo crescente de 0 até +infty).

Resposta

Domínio: (-2, ∞). O esboço do gráfico tem assíntota vertical em x = -2 e cruza o eixo x em x = e³ - 2; para x < e³ - 2 temos o ramo decrescente reflexo de +∞ até 0 e para x > e³ - 2 o ramo crescente de 0 até +∞.

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