Resolva:
log 13(x^2-2) >= log 12(3 x)+1

Passo 1

A questão pede para resolver a desigualdade log1/3(x^2-2) >= log1/2(3x)+1. O conteúdo é mudança de base e manipulação de logaritmos, e vamos precisar usar as propriedades de logaritmos (mudança de base, monotonicidade) e, ao final, um método numérico para achar a raiz exata aproximada.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio: precisamos de x^2-2>0 e 3x>0. Então
  • x^2-2>0 x>raiz2 ou x< -raiz2.
  • 3x>0 x>0.
    Combinando, o domínio é x>raiz2.

Passo 3

Reescrevemos os logaritmos em função de ln:
log1/3(x^2-2)=ln(x^2-2)ln(1/3)=-ln(x^2-2)ln3,
log1/2(3x)=ln(3x)ln(1/2)=-ln(3x)ln2

Passo 4

Então a desigualdade fica
-ln(x^2-2)ln3>= -ln(3x)ln2+1

Passo 5

Multiplicamos por -1 (invertendo o sinal) e depois por ln3>0:
ln(x^2-2)<=ln3ln2,ln(3x)-ln3

Passo 6

Reagrupando e usando ln a+ln b=ln(ab) e kln u=ln(u^k), obtemos
lnl[3(x^2-2)r]<=lnl[(3x)^ln3ln2r]

Passo 7

Como ln é crescente,
3(x^2-2)<=(3x)^ln3ln2=(3x)^log2 3

Passo 8

Definimos
f(x)=3(x^2-2)-(3x)^log2 3,

Passo 9

e buscamos o ponto em que f(x)=0 para x>raiz2. Note que em x=raiz2^+ a desigualdade é satisfeita e para xto+infty ela falha, logo existe uma única raiz x0>raiz2.
Fazendo uma busca por bisseção ou testando valores:
  • Em x=5.5 encontramos f(5.5)approx+0.003>0 (ainda satisfaz).
  • Em x=5.6 encontramos f(5.6)approx-0.005<0 (já não satisfaz).
    Interpolando, obtemos aproximadamente x0approx5.54.

Passo 10

Portanto, a solução da desigualdade, respeitando o domínio x>raiz2, é
boxedraiz2< x<= 5.54

Resposta

x \in (\sqrt2,;5.54]

Exercícios relacionados