Resolva:
Passo 1
A questão pede para resolver a desigualdade
. O conteúdo é mudança de base e manipulação de logaritmos, e vamos precisar usar as propriedades de logaritmos (mudança de base, monotonicidade) e, ao final, um método numérico para achar a raiz exata aproximada.
Passo 2
Primeiro, determinamos o domínio: precisamos de
e
. Então
-
dá ou . -
dá .
Combinando, o domínio é.
Passo 3
Reescrevemos os logaritmos em função de ln:
Passo 4
Então a desigualdade fica
Passo 5
Multiplicamos por
(invertendo o sinal) e depois por
:
Passo 6
Reagrupando e usando
e
, obtemos
Passo 7
Como
é crescente,
Passo 8
Definimos
Passo 9
e buscamos o ponto em que
para
. Note que em
a desigualdade é satisfeita e para
ela falha, logo existe uma única raiz
.
Fazendo uma busca por bisseção ou testando valores:
Fazendo uma busca por bisseção ou testando valores:
- Em
encontramos (ainda satisfaz). - Em
encontramos (já não satisfaz).
Interpolando, obtemos aproximadamente.
Passo 10
Portanto, a solução da desigualdade, respeitando o domínio
, é
Resposta
x \in (\sqrt2,;5.54]