Resolva:
\log _{\frac{1}{4}}\left(x^{2}-5 x+4\right)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{\frac{1}{4}}\!\bigl(x^{2}-5x+4\bigr) = -1.
Informações dadas e condições que vimos no enunciado:
\text{base do log: } \frac{1}{4},\qquad \text{argumento: } x^{2}-5x+4,\qquad \text{valor à direita: } -1.à
Condições que devem valer (informação importante, só identificando aqui):
\text{o argumento do log deve ser positivo: } x^{2}-5x+4>0.
Não resolvemos nada ainda — apenas listamos o que o problema fornece e o que é exigido.

Passo 2

Pequena aula rápida e necessária sobre logaritmos (sem pânico, é simples):
A definição fundamental é: para base a>0 com a\neq1 e para u>0,
\log_{a}(u)=b \quad\Longleftrightarrow\quad u = a^{b}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a é a base do logaritmo (aqui a=\tfrac{1}{4});
  • u é o argumento do logaritmo (aqui u=x^{2}-5x+4);
  • b é o valor do logaritmo (aqui b=-1).
    Exemplo curto para fixar: \log_{10}(100)=2 porque 100 = 10^{2}.

Passo 3

Vamos aplicar a definição diretamente à nossa equação. Da equivalência do passo anterior temos:
x^{2}-5x+4 = \left(\tfrac{1}{4}\right)^{-1}.
Calculemos o lado direito usando a propriedade de potências a^{-1}=1/a:
\left(\tfrac{1}{4}\right)^{-1} = \frac{1}{\tfrac{1}{4}} = 4.
Logo a equação reduz-se a
x^{2}-5x+4 = 4.

Passo 4

Subtraindo 4 de ambos os lados para obter uma equação quadrática padrão:
x^{2}-5x+4-4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-5x = 0.
Fatorando:
x(x-5)=0.
Portanto as soluções da equação quadrática são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=5.

Passo 5

Agora a parte que muita gente esquece na pressa: verificar a condição de existência do log (argumento positivo).
O argumento fatorado é
x^{2}-5x+4 = (x-1)(x-4).
Analisando o sinal de um produto de dois fatores lineares: as raízes são x=1 e x=4. O produto (x-1)(x-4) é positivo quando x<1 ou x>4 (intervalos fora das raízes), e é negativo para 1<x<4. Portanto a condição de existência é
x<1 \quad\text{ou}\quad x>4.
Checamos as candidatas:
  • Para x=0: 0<1 então está em x<1 — válido. Além disso x^{2}-5x+4=4>0.
  • Para x=5: 5>4 então está em x>4 — válido. Além disso x^{2}-5x+4=4>0.
Ambas passam na verificação de domínio.

Passo 6

Verificação final direta no log (pra ficar seguro e confiante):
Para x=0:
x^{2}-5x+4 = 4 \quad\Rightarrow\quad \log_{\frac{1}{4}}(4) = \log_{\frac{1}{4}}\!\bigl((\tfrac{1}{4})^{-1}\bigr) = -1,
pois \log_{a}(a^{k})=k.
Para x=5 a mesma conta acontece (o argumento também vale 4), então devolve -1. Logo ambas soluções são realmente soluções da equação original.

Resposta

x=0
x=5

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