Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas e condições que vimos no enunciado:
Condições que devem valer (informação importante, só identificando aqui):
Não resolvemos nada ainda — apenas listamos o que o problema fornece e o que é exigido.
Passo 2
Pequena aula rápida e necessária sobre logaritmos (sem pânico, é simples):
A definição fundamental é: para base com
e para
,
A definição fundamental é: para base
Aqui cada símbolo significa:
-
é a base do logaritmo (aqui ); -
é o argumento do logaritmo (aqui ); -
é o valor do logaritmo (aqui ).
Exemplo curto para fixar:porque .
Passo 3
Vamos aplicar a definição diretamente à nossa equação. Da equivalência do passo anterior temos:
Calculemos o lado direito usando a propriedade de potências
:
Logo a equação reduz-se a
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados para obter uma equação quadrática padrão:
Fatorando:
Portanto as soluções da equação quadrática são
Passo 5
Agora a parte que muita gente esquece na pressa: verificar a condição de existência do log (argumento positivo).
O argumento fatorado é
O argumento fatorado é
Analisando o sinal de um produto de dois fatores lineares: as raízes são
e
. O produto
é positivo quando
ou
(intervalos fora das raízes), e é negativo para
. Portanto a condição de existência é
Checamos as candidatas:
- Para
: então está em — válido. Além disso . - Para
: então está em — válido. Além disso .
Ambas passam na verificação de domínio.
Passo 6
Verificação final direta no log (pra ficar seguro e confiante):
Para :
Para
pois
.
Para a mesma conta acontece (o argumento também vale
), então devolve
. Logo ambas soluções são realmente soluções da equação original.
Para