Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede para encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa desigualdade. As informações relevantes são: as bases são
e
, o expoente envolve a variável
, e a desigualdade é estrita (
). A variável
é um número real qualquer.
Passo 2
Uma ideia útil é reescrever ambas as bases como potências de um mesmo número para poder comparar os expoentes. Vou usar a propriedade de potências
que vale para qualquer
e quaisquer expoentes
. Observamos que
e
são potências de
:
Aplicando a propriedade de potências obtemos
e
Passo 3
Substituindo essas expressões na desigualdade original temos
Agora uso a propriedade de que a função exponencial
com base
é estritamente crescente — isto significa que, se
, então
se e somente se
. Como a base aqui é
e
, podemos comparar diretamente os expoentes. Portanto a desigualdade é equivalente a
Passo 4
Resolvo a desigualdade linear obtida passo a passo. Primeiro faço as multiplicações:
Agora passo os termos com
para um lado e os constantes para o outro. Somo
aos dois lados:
Isso dá
Agora somo
aos dois lados:
Por fim divido por
(note que
, então a desigualdade não se inverte):
Simplificando a fração:
Passo 5
Faço uma verificação rápida para ganhar confiança no resultado. Se
então
então
e
ou seja em
os lados são iguais (como esperado: é o ponto onde a desigualdade muda de sentido). Como a desigualdade original é estrita (
), esse ponto não pertence à solução. Testando um valor maior, por exemplo
, temos
e
, e de fato
. Testando um valor menor, por exemplo
, temos
e
, e
é falso. Portanto a solução obtida faz sentido.