Resolva:
4^{x-1}>16^{2-x}

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
4^{x-1} > 16^{2-x}
e pede para encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa desigualdade. As informações relevantes são: as bases são 4 e 16, o expoente envolve a variável x, e a desigualdade é estrita ( >). A variável x é um número real qualquer.

Passo 2

Uma ideia útil é reescrever ambas as bases como potências de um mesmo número para poder comparar os expoentes. Vou usar a propriedade de potências
\big(a^{m}\big)^{n}=a^{mn},
que vale para qualquer a e quaisquer expoentes m,n. Observamos que 4 e 16 são potências de 2:
4=2^{2},\qquad 16=2^{4}.
Aplicando a propriedade de potências obtemos
4^{x-1}=(2^{2})^{x-1}=2^{2(x-1)}
e
16^{2-x}=(2^{4})^{2-x}=2^{4(2-x)}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na desigualdade original temos
2^{2(x-1)} > 2^{4(2-x)}.
Agora uso a propriedade de que a função exponencial a^{t} com base a>1 é estritamente crescente — isto significa que, se a>1, então a^{u}>a^{v} se e somente se u>v. Como a base aqui é 2 e 2>1, podemos comparar diretamente os expoentes. Portanto a desigualdade é equivalente a
2(x-1) > 4(2-x).

Passo 4

Resolvo a desigualdade linear obtida passo a passo. Primeiro faço as multiplicações:
2x-2 > 8 - 4x.
Agora passo os termos com x para um lado e os constantes para o outro. Somo 4x aos dois lados:
2x + 4x - 2 > 8.
Isso dá
6x - 2 > 8.
Agora somo 2 aos dois lados:
6x > 10.
Por fim divido por 6 (note que 6>0, então a desigualdade não se inverte):
x > \frac{10}{6}.
Simplificando a fração:
x > \frac{5}{3}.

Passo 5

Faço uma verificação rápida para ganhar confiança no resultado. Se x=\tfrac{5}{3} então
x-1=\tfrac{2}{3},\qquad 2-x=\tfrac{1}{3},
então
4^{x-1}=4^{2/3}=(2^{2})^{2/3}=2^{4/3}
e
16^{2-x}=16^{1/3}=(2^{4})^{1/3}=2^{4/3},
ou seja em x=\tfrac{5}{3} os lados são iguais (como esperado: é o ponto onde a desigualdade muda de sentido). Como a desigualdade original é estrita ( >), esse ponto não pertence à solução. Testando um valor maior, por exemplo x=2, temos 4^{1}=4 e 16^{0}=1, e de fato 4>1. Testando um valor menor, por exemplo x=1, temos 4^{0}=1 e 16^{1}=16, e 1>16 é falso. Portanto a solução obtida faz sentido.

Resposta

\,x>\dfrac{5}{3}

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