Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações dadas: a base é
e os expoentes são
(no membro esquerdo) e
(no membro direito). A incógnita a determinar é
. Não há outras condições extras.
Passo 2
Principio importante que vou usar (explicação didática): a função
tem comportamento diferente dependendo de
.
- Se
, a função é crescente: maiores expoentes dão maiores valores. - Se
, a função é decrescente: maiores expoentes dão menores valores.
Aqui a base é
. Como
, a função
é decrescente. Um exemplo simples para sentir isso:
.
Passo 3
Consequência da monotonicidade decrescente: quando comparamos duas potências com a mesma base
,
Aplicando isso à desigualdade do problema, trocamos a comparação entre potências pela comparação entre expoentes, invertendo o sinal da desigualdade:
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade linear
passo a passo.
Subtraindo
dos dois lados:
Somando
aos dois lados:
Isto é o mesmo que
Passo 5
Verificação alternativa (usar logaritmo) — só para reforçar a ideia: tomando log natural em ambos os lados,
o que dá
Como
, ao dividir por esse número a desigualdade inverte, levando novamente a
e, portanto, a
.
Passo 6
Teste rápido para ganhar confiança: escolha
. Então
e
. Como a função é decrescente,
, logo a desigualdade é verdadeira para
. Para
os expoentes coincidem e a desigualdade estrita não vale. Para
a desigualdade falha. Isso confirma que a solução é
.