Resolva:
\left(\frac{3}{5}\right)^{x+2}>\left(\frac{3}{5}\right)^{2 x-4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\left(\frac{3}{5}\right)^{x+2}>\left(\frac{3}{5}\right)^{2x-4}.
Informações dadas: a base é \tfrac{3}{5} e os expoentes são x+2 (no membro esquerdo) e 2x-4 (no membro direito). A incógnita a determinar é x. Não há outras condições extras.

Passo 2

Principio importante que vou usar (explicação didática): a função t\mapsto a^{t} tem comportamento diferente dependendo de a.
  • Se a>1, a função é crescente: maiores expoentes dão maiores valores.
  • Se 0<a<1, a função é decrescente: maiores expoentes dão menores valores.
Aqui a base é \tfrac{3}{5}. Como 0<\tfrac{3}{5}<1, a função t\mapsto\left(\tfrac{3}{5}\right)^t é decrescente. Um exemplo simples para sentir isso: \left(\tfrac{1}{2}\right)^1=\tfrac{1}{2}>\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}.

Passo 3

Consequência da monotonicidade decrescente: quando comparamos duas potências com a mesma base 0<a<1,
a^{u}>a^{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u<v.
Aplicando isso à desigualdade do problema, trocamos a comparação entre potências pela comparação entre expoentes, invertendo o sinal da desigualdade:
x+2<2x-4.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade linear x+2<2x-4 passo a passo.
Subtraindo x dos dois lados:
2 < x-4.
Somando 4 aos dois lados:
6 < x.
Isto é o mesmo que
x>6.

Passo 5

Verificação alternativa (usar logaritmo) — só para reforçar a ideia: tomando log natural em ambos os lados,
\ln\!\left(\left(\tfrac{3}{5}\right)^{x+2}\right)>\ln\!\left(\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2x-4}\right)
o que dá
(x+2)\ln\!\left(\tfrac{3}{5}\right)>(2x-4)\ln\!\left(\tfrac{3}{5}\right).
Como \ln\!\left(\tfrac{3}{5}\right)<0, ao dividir por esse número a desigualdade inverte, levando novamente a x+2<2x-4 e, portanto, a x>6.

Passo 6

Teste rápido para ganhar confiança: escolha x=7. Então x+2=9 e 2x-4=10. Como a função é decrescente, \left(\tfrac{3}{5}\right)^9>\left(\tfrac{3}{5}\right)^{10}, logo a desigualdade é verdadeira para x=7. Para x=6 os expoentes coincidem e a desigualdade estrita não vale. Para x=5 a desigualdade falha. Isso confirma que a solução é x>6.

Resposta

x>6

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