Resolva de maneira explicita a solução dos seguintes PVI, e determine em qual intervalo ela é definida. (Isto é,
deve existir ou não ter valores
ou
)
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI dado por
que é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo separável. Vamos usar separação de variáveis e integrar para encontrar a solução explícita.
Passo 2
Separamos variáveis agrupando termos em
de um lado e em
do outro. Isso dá
Agora integramos ambos os lados.
Passo 3
Integrando, obtemos
onde
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
na relação anterior, temos
Logo, a solução implícita fica
Passo 5
Tirando a raiz, obtemos duas possíveis ramificações:
$$y(x) = \pm\sqrt{-2x^2 +2x +4}.
Passo 6
Para determinar onde essa solução existe sem explodir em
, exigimos que o radicando seja positivo:
$$-2x^2 +2x +4 > 0.
$$
Passo 7
Portanto, a solução explícita do PVI é
e ela está definida no intervalo
Resposta
y(x) = -\sqrt{-2x^2 +2x +4}, definido para x \in (-1, 2).