Resolva de maneira explicita a solução dos seguintes PVI, e determine em qual intervalo ela é definida. (Isto é, y(t) deve existir ou não ter valores +infty ou -infty )
y^prime=(1-2 x) / y, y(1)=-2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dado por
y' = 1-2xy, y(1) = -2,
que é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo separável. Vamos usar separação de variáveis e integrar para encontrar a solução explícita.

Passo 2

Separamos variáveis agrupando termos em y de um lado e em x do outro. Isso dá
y,dy = (1 - 2x),dx
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Integrando, obtemos
integral y,dy = integral (1-2x),dx Longrightarrow 12y^2 = x - x^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=-2. Substituindo x=1 e y=-2 na relação anterior, temos
12cdot(-2)^2 = 1 - 1 + C Longrightarrow 2 = C
Logo, a solução implícita fica
12 y^2 = x - x^2 + 2 Longrightarrow y^2 = -2x^2 + 2x +4

Passo 5

Tirando a raiz, obtemos duas possíveis ramificações:
$$y(x) = \pm\sqrt{-2x^2 +2x +4}.
y(x) = pmraiz-2x^2 +2x +4 y(x) = -\sqrt{-2x^2 +2x +4}.$$

Passo 6

Para determinar onde essa solução existe sem explodir em pminfty, exigimos que o radicando seja positivo:
$$-2x^2 +2x +4 > 0.
-2x^2 +2x +4 > 0 -2x^2 +2x +4 = 2(2-x)(x+1).
-2x^2 +2x +4 = 2(2-x)(x+1) -1 < x < 2.
$$

Passo 7

Portanto, a solução explícita do PVI é
y(x) = -raiz-2x^2 +2x +4,
e ela está definida no intervalo
(-1,,2)

Resposta

y(x) = -\sqrt{-2x^2 +2x +4}, definido para x \in (-1, 2).

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