Sejam
e
.
Calcule
, onde a superfície
está orientada com vetor normal unitário apontando para fora de
e
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de F através da superfície S = ∂W, onde W é a parte do paralelepípedo D com x²+z² ≥ 9, orientada para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência, que reduz o problema a um integral de volume de div F sobre W.
Passo 2
Calculemos a divergência de F(x,y,z)=(xy,2xz,xz+3yz):
A definição é ∇·F=∂(xy)/∂x + ∂(2xz)/∂y + ∂(xz+3yz)/∂z. Então:
A definição é ∇·F=∂(xy)/∂x + ∂(2xz)/∂y + ∂(xz+3yz)/∂z. Então:
∇·F = y + 0 + (x + 3y) = x + 4y
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência temos:
∬_{∂W} F·n dS = ∭_W (x+4y) dV = ∭_W x dV + 4∭_W y dV.
Como W é simétrico em x (para cada (x,z,y) entra (−x,z,y)), ∭_W x dV=0. Logo ficamos com 4∭_W y dV.
Passo 4
Para calcular ∭_W y dV, note que y varia de 0 a 3 e a seção em (x,z) é o quadrado [−3,3]×[−3,3] menos o disco interno de raio 3. A área dessa seção é
A = 6·6 − π·3² = 36 − 9π.
Então
∭_W y dV = ∫_{y=0}^3 y dy · A =
\big|_0^3 · (36−9π) =
(36−9π)
Passo 5
Multiplicando por 4 obtemos o fluxo:
Resposta
648 - 162\pi