Resolva em
a inequação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a inequação
Informações dadas:
- A desigualdade envolve expressões racionais com denominadores
e . - Queremos todos os
racionais que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Estratégia e lembrete importante (mini-aula): quando manipulamos inequações lineares podemos somar, subtrair, multiplicar ou dividir ambos os lados por um mesmo número, com duas regras chave:
- Somar ou subtrair o mesmo número de ambos os lados preserva a direção da desigualdade.
- Multiplicar ou dividir ambos os lados por um número positivo preserva a direção; multiplicar ou dividir por um número negativo inverte a direção.
Para evitar a complicação de inverter o sinal por multiplicar por um número negativo, é conveniente primeiro eliminar os denominadores multiplicando por um múltiplo comum positivo dos denominadores. Aqui os denominadores sãoe ; um múltiplo comum positivo é (pois ). Vou multiplicar ambos os lados por , que é positivo, então a desigualdade não muda de direção.
Passo 3
Multiplico ambos os lados por
e simplifico cada fração:
Agora simplifico os coeficientes:
Portanto a inequação fica
Passo 4
Faço as multiplicações em cada lado e escrevo a inequação expandida:
Logo
Passo 5
Agora isolo
. Primeiro somo
em ambos os lados (isso preserva a desigualdade):
Em seguida somo
em ambos os lados:
Agora divido ambos os lados por
. Como
é positivo, a direção da desigualdade é preservada:
Explanação: dividir por um número positivo mantém o sinal; se fosse negativo, teríamos que inverter a desigualdade.
Passo 6
Verificação rápida do caso de igualdade (para nos certificar): se
,
Ambos os lados são iguais, então a desigualdade vale com igualdade. Portanto a solução é todos os racionais menores ou iguais a
.