Resolva em \mathbb{Q} a inequação:
\frac{2 x-5}{7} \leq \frac{x+8}{-6}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{Q} a inequação
\frac{2 x-5}{7} \leq \frac{x+8}{-6}.
Informações dadas:
  • A desigualdade envolve expressões racionais com denominadores 7 e -6.
  • Queremos todos os x racionais que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Estratégia e lembrete importante (mini-aula): quando manipulamos inequações lineares podemos somar, subtrair, multiplicar ou dividir ambos os lados por um mesmo número, com duas regras chave:
  1. Somar ou subtrair o mesmo número de ambos os lados preserva a direção da desigualdade.
  2. Multiplicar ou dividir ambos os lados por um número positivo preserva a direção; multiplicar ou dividir por um número negativo inverte a direção.
    Para evitar a complicação de inverter o sinal por multiplicar por um número negativo, é conveniente primeiro eliminar os denominadores multiplicando por um múltiplo comum positivo dos denominadores. Aqui os denominadores são 7 e -6; um múltiplo comum positivo é 42 (pois 42=7\cdot6). Vou multiplicar ambos os lados por 42, que é positivo, então a desigualdade não muda de direção.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por 42 e simplifico cada fração:
42\cdot\frac{2x-5}{7} \le 42\cdot\frac{x+8}{-6}.
Agora simplifico os coeficientes:
\frac{42}{7}=6,\quad \frac{42}{-6}=-7.
Portanto a inequação fica
6(2x-5) \le -7(x+8).

Passo 4

Faço as multiplicações em cada lado e escrevo a inequação expandida:
6(2x-5) = 12x-30,
-7(x+8) = -7x-56.
Logo
12x-30 \le -7x-56.

Passo 5

Agora isolo x. Primeiro somo 7x em ambos os lados (isso preserva a desigualdade):
12x-30 +7x \le -7x-56 +7x
19x-30 \le -56.
Em seguida somo 30 em ambos os lados:
19x \le -56 +30
19x \le -26.
Agora divido ambos os lados por 19. Como 19 é positivo, a direção da desigualdade é preservada:
x \le -\frac{26}{19}.
Explanação: dividir por um número positivo mantém o sinal; se fosse negativo, teríamos que inverter a desigualdade.

Passo 6

Verificação rápida do caso de igualdade (para nos certificar): se x=-\frac{26}{19},
\frac{2x-5}{7}=\frac{2\left(-\frac{26}{19}\right)-5}{7}=\frac{-\frac{52}{19}-\frac{95}{19}}{7}=\frac{-\frac{147}{19}}{7}=-\frac{21}{19},
\frac{x+8}{-6}=\frac{-\frac{26}{19}+\frac{152}{19}}{-6}=\frac{\frac{126}{19}}{-6}=-\frac{21}{19}.
Ambos os lados são iguais, então a desigualdade vale com igualdade. Portanto a solução é todos os racionais menores ou iguais a -\frac{26}{19}.

Resposta

\{x\in\mathbb{Q}\mid x \le -\tfrac{26}{19}\}

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