Prove ou forneça um contra-exemplo para a seguinte afirmação: "Toda sequência de intervalos fechados e limitados de
não vazios e encaixantes, isto é,
, onde
,
, é tal que existe sempre pelo menos um elemento
na interseção
"
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Toda sequência de intervalos fechados e limitados de
não vazios e encaixantes, isto é,
, onde
e
, é tal que existe sempre pelo menos um elemento
na interseção
.” \n
Informações dadas e o que se pede: \n
Informações dadas e o que se pede: \n
- Temos uma sequência aninhada (encaixante) de intervalos fechados em
. \n - Cada intervalo é limitado e não vazio (tem pelo menos um racional). \n
- Pergunta-se se a interseção de todos esses intervalos sempre contém pelo menos um número racional. \n
A resolução começará a seguir, mostrando um contra-exemplo explícito (ou seja, apresentando uma sequência de intervalos com as propriedades exigidas cuja interseção não contém nenhum racional).
Passo 2
Ideia principal (sem demonstrar ainda): vou construir intervalos com extremos racionais que “aprovam” cada vez melhor um número irracional (por exemplo
). Assim os intervalos serão encaixantes, não vazios e de comprimentos que tendem a zero, mas a única possível ponto limite será o irracional
. Como
, a interseção, vista como subconjunto de
, ficará vazia. Agora vamos construir tudo de forma explícita e provar as propriedades passo a passo.
Passo 3
Lembremos que
é irracional. Vou dar uma prova curta e clássica (porque vou usá-la depois): suponha, por contradição, que
com
sem fator comum. Então
Isso implica que
é par, então
é par; escrevendo
obtemos
, logo
, então
também é par. Isso contradiz a hipótese de
e
não terem fator comum. Portanto
.
Passo 4
Agora construo os extremos racionais por aproximações decimais de
. Para cada
defino
onde
e
são, respectivamente, a parte inteira e o teto. Comentários importantes: \n
- Para todo
temos (são números decimais com casas). \n - Por construção
. Como não tem expansão decimal finita, de fato para todo . \n - A diferença entre os extremos satisfaz
Isso porque
é
(ou menos, mas não é zero aqui), e ao dividir por
obtém-se no máximo
.
Passo 5
Defino os intervalos em
por
Vou verificar as propriedades pedidas: \n
- Não vazio: como
e , temos , logo . \n - Encaixantes (aninhados): mostro que
é uma sequência não decrescente e é não crescente. De fato, ao aumentar estamos acrescentando uma casa decimal, logo a truncatura não diminui com , i.e. . Similarmente, não aumenta com , i.e. . Portanto
- Bounded (limitados): cada intervalo está contido, por exemplo, em
, pois e os extremos aproximam . \n - Comprimento tende a zero:
quando .
Passo 6
Agora mostro o que é a interseção dos intervalos no sentido dos reais e depois deduzo a interseção em
. Considere a interseção em
:
Como os intervalos fechados
são encaixantes, contêm
para todo
e têm comprimentos que tendem a zero, qualquer ponto
que pertença à interseção satisfaz
Levando
segue que
, logo
. Assim
Passo 7
Retornando à interseção considerada como subconjunto de
, temos
Mas como provamos no Passo 3,
. Portanto
Concluímos que existe uma sequência encaixante de intervalos fechados e limitados em
, todos não vazios, cuja interseção é vazia. Isso é um contra-exemplo à afirmação do enunciado.
Passo 8
Comentário didático e motivador: o que aconteceu é que
não é completo — existem sequências de Cauchy (ou sistemas encaixantes com comprimentos tendendo a zero) que convergem para um número que não pertence a
. No corpo dos reais
essa situação não ocorre: o famoso “teorema dos intervalos aninhados” garante que uma sequência de intervalos fechados, encaixantes, com comprimentos tendendo a zero tem interseção exatamente um ponto em
. Em
isso pode falhar, como vimos com
. Você está indo bem — esse tipo de contra-exemplo é clássico e mostra a diferença entre
e
.
Resposta
Contra-exemplo: Definindo para cada
e
, os
são fechados, limitados, não vazios e encaixantes em
, mas
pois
e
.