Prove ou forneça um contra-exemplo para a seguinte afirmação: "Toda sequência de intervalos fechados e limitados de \mathbb{Q} não vazios e encaixantes, isto é, I_{1} \supset I_{2} \supset \cdots \supset I_{n} \supset I_{n+1} \supset \ldots, onde I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right]=\left\{x \in \mathbb{Q}: a_{n} \leq x \leq b_{n}\right\}, a_{n}<b_{n}, é tal que existe sempre pelo menos um elemento x \in \mathbb{Q} na interseção \cap_{n \in \mathbb{N}} I_{n} "

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Toda sequência de intervalos fechados e limitados de \mathbb{Q} não vazios e encaixantes, isto é, I_{1}\supset I_{2}\supset\cdots\supset I_{n}\supset I_{n+1}\supset\ldots, onde I_{n}=\left[a_{n},b_{n}\right]=\{x\in\mathbb{Q}:a_{n}\le x\le b_{n}\} e a_{n}<b_{n}, é tal que existe sempre pelo menos um elemento x\in\mathbb{Q} na interseção \bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_{n}.” \n
Informações dadas e o que se pede: \n
  • Temos uma sequência aninhada (encaixante) de intervalos fechados em \mathbb{Q}. \n
  • Cada intervalo é limitado e não vazio (tem pelo menos um racional). \n
  • Pergunta-se se a interseção de todos esses intervalos sempre contém pelo menos um número racional. \n
    A resolução começará a seguir, mostrando um contra-exemplo explícito (ou seja, apresentando uma sequência de intervalos com as propriedades exigidas cuja interseção não contém nenhum racional).

Passo 2

Ideia principal (sem demonstrar ainda): vou construir intervalos com extremos racionais que “aprovam” cada vez melhor um número irracional (por exemplo \sqrt{2}). Assim os intervalos serão encaixantes, não vazios e de comprimentos que tendem a zero, mas a única possível ponto limite será o irracional \sqrt{2}. Como \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}, a interseção, vista como subconjunto de \mathbb{Q}, ficará vazia. Agora vamos construir tudo de forma explícita e provar as propriedades passo a passo.

Passo 3

Lembremos que \sqrt{2} é irracional. Vou dar uma prova curta e clássica (porque vou usá-la depois): suponha, por contradição, que \sqrt{2}=\frac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z} sem fator comum. Então
2=\frac{p^{2}}{q^{2}}\quad\Rightarrow\quad p^{2}=2q^{2}.
Isso implica que p^{2} é par, então p é par; escrevendo p=2k obtemos 4k^{2}=2q^{2}, logo q^{2}=2k^{2}, então q também é par. Isso contradiz a hipótese de p e q não terem fator comum. Portanto \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}.

Passo 4

Agora construo os extremos racionais por aproximações decimais de \sqrt{2}. Para cada n\in\mathbb{N} defino
a_{n}=\frac{\lfloor 10^{n}\sqrt{2}\rfloor}{10^{n}},\qquad b_{n}=\frac{\lceil 10^{n}\sqrt{2}\rceil}{10^{n}},
onde \lfloor\cdot\rfloor e \lceil\cdot\rceil são, respectivamente, a parte inteira e o teto. Comentários importantes: \n
  • Para todo n temos a_{n},b_{n}\in\mathbb{Q} (são números decimais com n casas). \n
  • Por construção a_{n}\le \sqrt{2}\le b_{n}. Como \sqrt{2} não tem expansão decimal finita, de fato a_{n}<\sqrt{2}<b_{n} para todo n. \n
  • A diferença entre os extremos satisfaz
0<b_{n}-a_{n}\le \frac{1}{10^{n}}.
Isso porque \lceil 10^{n}\sqrt{2}\rceil-\lfloor 10^{n}\sqrt{2}\rfloor é 1 (ou menos, mas não é zero aqui), e ao dividir por 10^{n} obtém-se no máximo 10^{-n}.

Passo 5

Defino os intervalos em \mathbb{Q} por
I_{n}=\{x\in\mathbb{Q}:a_{n}\le x\le b_{n}\}=\left[a_{n},b_{n}\right]\cap\mathbb{Q}.
Vou verificar as propriedades pedidas: \n
  1. Não vazio: como a_{n}\in\mathbb{Q} e a_{n}<b_{n}, temos a_{n}\in I_{n}, logo I_{n}\neq\varnothing. \n
  2. Encaixantes (aninhados): mostro que a_{n} é uma sequência não decrescente e b_{n} é não crescente. De fato, ao aumentar n estamos acrescentando uma casa decimal, logo a truncatura \frac{\lfloor 10^{n}\sqrt{2}\rfloor}{10^{n}} não diminui com n, i.e. a_{n+1}\ge a_{n}. Similarmente, \frac{\lceil 10^{n}\sqrt{2}\rceil}{10^{n}} não aumenta com n, i.e. b_{n+1}\le b_{n}. Portanto
I_{1}\supset I_{2}\supset\cdots\supset I_{n}\supset I_{n+1}\supset\cdots.
  1. Bounded (limitados): cada intervalo está contido, por exemplo, em [1,2], pois \sqrt{2}\in(1,2) e os extremos aproximam \sqrt{2}. \n
  2. Comprimento tende a zero: \mathrm{length}(I_{n})=b_{n}-a_{n}\le 10^{-n}\to 0 quando n\to\infty.

Passo 6

Agora mostro o que é a interseção dos intervalos no sentido dos reais e depois deduzo a interseção em \mathbb{Q}. Considere a interseção em \mathbb{R}:
\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_{n},b_{n}].
Como os intervalos fechados [a_{n},b_{n}] são encaixantes, contêm \sqrt{2} para todo n e têm comprimentos que tendem a zero, qualquer ponto x que pertença à interseção satisfaz
|x-\sqrt{2}|\le b_{n}-a_{n}\quad\text{para todo }n.
Levando n\to\infty segue que |x-\sqrt{2}|\le 0, logo x=\sqrt{2}. Assim
\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_{n},b_{n}]=\{\sqrt{2}\}.

Passo 7

Retornando à interseção considerada como subconjunto de \mathbb{Q}, temos
\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_{n}=\left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_{n},b_{n}]\right)\cap\mathbb{Q}=\{\sqrt{2}\}\cap\mathbb{Q}.
Mas como provamos no Passo 3, \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. Portanto
\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_{n}=\varnothing.
Concluímos que existe uma sequência encaixante de intervalos fechados e limitados em \mathbb{Q}, todos não vazios, cuja interseção é vazia. Isso é um contra-exemplo à afirmação do enunciado.

Passo 8

Comentário didático e motivador: o que aconteceu é que \mathbb{Q} não é completo — existem sequências de Cauchy (ou sistemas encaixantes com comprimentos tendendo a zero) que convergem para um número que não pertence a \mathbb{Q}. No corpo dos reais \mathbb{R} essa situação não ocorre: o famoso “teorema dos intervalos aninhados” garante que uma sequência de intervalos fechados, encaixantes, com comprimentos tendendo a zero tem interseção exatamente um ponto em \mathbb{R}. Em \mathbb{Q} isso pode falhar, como vimos com \sqrt{2}. Você está indo bem — esse tipo de contra-exemplo é clássico e mostra a diferença entre \mathbb{Q} e \mathbb{R}.

Resposta

Contra-exemplo: Definindo para cada n\in\mathbb{N}
a_{n}=\frac{\lfloor 10^{n}\sqrt{2}\rfloor}{10^{n}},\qquad b_{n}=\frac{\lceil 10^{n}\sqrt{2}\rceil}{10^{n}},
e I_{n}=\{x\in\mathbb{Q}:a_{n}\le x\le b_{n}\}, os I_{n} são fechados, limitados, não vazios e encaixantes em \mathbb{Q}, mas
\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_{n}=\varnothing,
pois \bigcap_{n}[a_{n},b_{n}]=\{\sqrt{2}\} e \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}.

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