Resolva, em \mathbb{R}, a equação
x^{2}+\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=3

Passo 1

O enunciado pede: resolver, em \mathbb{R}, a equação
x^{2}+\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=3.
Informações e restrições dadas:
  • A incógnita é x real.
  • Há um denominador (x+1)^{2}, portanto x\neq -1 (não é permitido dividir por zero).
  • O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfaçam a igualdade acima.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por (x+1)^{2}. Isso é válido desde que lembremos que x\neq -1. Ao multiplicar obtemos
x^{2}(x+1)^{2}+x^{2}=3(x+1)^{2}.

Passo 3

Expandir (x+1)^{2} e simplificar. Sabendo que (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1, substituímos:
x^{2}\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)+x^{2}=3\bigl(x^{2}+2x+1\bigr).
Distribuindo os termos no primeiro membro e no segundo membro:
x^{4}+2x^{3}+x^{2}+x^{2}=3x^{2}+6x+3.
Somando x^{2}+x^{2}=2x^{2} no lado esquerdo:
x^{4}+2x^{3}+2x^{2}=3x^{2}+6x+3.
Passando tudo para um lado (subtraindo o lado direito):
x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-3x^{2}-6x-3=0,
portanto
x^{4}+2x^{3}-x^{2}-6x-3=0.

Passo 4

Tentar fatorar o quartic como produto de dois quadráticos com coeficientes reais:
x^{4}+2x^{3}-x^{2}-6x-3=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d).
Desenvolvendo o produto obtemos as igualdades de coeficientes:
a+c=2,
ac+b+d=-1,
ad+bc=-6,
bd=-3.
Como bd=-3, procuramos pares inteiros (b,d) que multipliquem -3: (1,-3),(-1,3),(3,-1),(-3,1). Testando os candidatos (procedimento prático comum para fatoração com coeficientes inteiros), a escolha b=-1 e d=3 leva a
ac +(-1)+3 = ac+2 = -1 \quad\Rightarrow\quad ac=-3,
e com a+c=2 as soluções para a,c são a=-1 e c=3 (verificando os produtos e somas). Para esses valores:
ad+bc = (-1)\cdot 3 + (-1)\cdot 3 = -3-3=-6,
que coincide com a condição exigida. Logo a fatoração correta é
x^{4}+2x^{3}-x^{2}-6x-3=(x^{2}-x-1)(x^{2}+3x+3).

Passo 5

Resolver cada quadrática separadamente.
  1. Resolver \;x^{2}-x-1=0. Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática),
x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1} =\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} =\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Ambas as raízes são reais.
  1. Resolver \;x^{2}+3x+3=0. O discriminante é \Delta=3^{2}-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0. Como o discriminante é negativo, essa quadrática não tem raízes reais.

Passo 6

Verificar a restrição inicial x\neq -1. As soluções encontradas \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2} não são iguais a -1, portanto são admissíveis na equação original. Não houve multiplicação por zero nem introdução de raízes extranhas.

Resposta

x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}

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