Resolva, em
, a equação
Passo 1
O enunciado pede: resolver, em
, a equação
Informações e restrições dadas:
- A incógnita é
real. - Há um denominador
, portanto (não é permitido dividir por zero). - O objetivo é encontrar todos os
que satisfaçam a igualdade acima.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por
. Isso é válido desde que lembremos que
. Ao multiplicar obtemos
Passo 3
Expandir
e simplificar. Sabendo que
, substituímos:
Distribuindo os termos no primeiro membro e no segundo membro:
Somando
no lado esquerdo:
Passando tudo para um lado (subtraindo o lado direito):
portanto
Passo 4
Tentar fatorar o quartic como produto de dois quadráticos com coeficientes reais:
Desenvolvendo o produto obtemos as igualdades de coeficientes:
Como
, procuramos pares inteiros
que multipliquem
:
. Testando os candidatos (procedimento prático comum para fatoração com coeficientes inteiros), a escolha
e
leva a
e com
as soluções para
são
e
(verificando os produtos e somas). Para esses valores:
que coincide com a condição exigida. Logo a fatoração correta é
Passo 5
Resolver cada quadrática separadamente.
- Resolver
. Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática),
Ambas as raízes são reais.
- Resolver
. O discriminante é . Como o discriminante é negativo, essa quadrática não tem raízes reais.
Passo 6
Verificar a restrição inicial
. As soluções encontradas
não são iguais a
, portanto são admissíveis na equação original. Não houve multiplicação por zero nem introdução de raízes extranhas.