Usando o fato anterior, calcule \operatorname{sec} ^{2}\left(\frac{\pi}{7}\right)+\operatorname{sec} ^{2}\left(\frac{3 \pi}{7}\right)+\operatorname{sec} ^{2}\left(\frac{5 \pi}{7}\right).

Passo 1

O que o problema pede: calcular a soma
\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{\pi}{7}\right)+\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{3\pi}{7}\right)+\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{5\pi}{7}\right).
Informações dadas (explícitas no enunciado): os ângulos são \dfrac{\pi}{7}, \dfrac{3\pi}{7} e \dfrac{5\pi}{7}. Não há outras informações numéricas adicionais no enunciado.

Passo 2

Denotemos
r_1=\cos\!\left(\frac{\pi}{7}\right),\qquad r_2=\cos\!\left(\frac{3\pi}{7}\right),\qquad r_3=\cos\!\left(\frac{5\pi}{7}\right).
Usando o fato anterior (o enunciado pediu “usando o fato anterior”), podemos usar que r_1,r_2,r_3 são raízes do polinômio
8x^{3}-4x^{2}-4x+1=0.
Agora vamos extrair as somas simétricas dessas raízes a partir dos coeficientes do polinômio. Para um polinômio monico x^{3}-S_{1}x^{2}+S_{2}x-S_{3}=0 as relações entre raízes e coeficientes são
S_{1}=r_1+r_2+r_3,\qquad S_{2}=r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3,\qquad S_{3}=r_1r_2r_3.
Multiplicando o polinômio dado por 1/8 para torná-lo monico, obtemos
x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}=0.
Portanto, pelas relações de Viète:
S_{1}=r_1+r_2+r_3=\frac{1}{2},
S_{2}=r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=-\frac{1}{2},
S_{3}=r_1r_2r_3=-\frac{1}{8}.

Passo 3

Queremos calcular
\sum_{k=1}^{3}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\text{ângulo}_k\right)=\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{\cos^{2}\!\left(\text{ângulo}_k\right)}=\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{r_k^{2}}.ââ
Vamos transformar \displaystyle\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{r_k^{2}} em expressões dos somatórios simétricos S_{1},S_{2},S_{3}.
Primeiro note que
\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{r_k^{2}} =\frac{r_2^{2}r_3^{2}+r_1^{2}r_3^{2}+r_1^{2}r_2^{2}}{(r_1r_2r_3)^{2}}.
No numerador temos a soma dos quadrados dos produtos r_ir_j. Usando a identidade algébrica
(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)^{2}=r_1^{2}r_2^{2}+r_1^{2}r_3^{2}+r_2^{2}r_3^{2}+2r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3),
conseguimos isolar a soma desejada:
r_1^{2}r_2^{2}+r_1^{2}r_3^{2}+r_2^{2}r_3^{2}=(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)^{2}-2r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3).
Então
\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{r_k^{2}} =\frac{(S_{2})^{2}-2S_{3}S_{1}}{(S_{3})^{2}}.

Passo 4

Agora substituímos os valores que encontramos em

Passo 5

S_{1}=\frac{1}{2},\qquad S_{2}=-\frac{1}{2},\qquad S_{3}=-\frac{1}{8}.
Calculamos o numerador:
(S_{2})^{2}-2S_{3}S_{1}=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-2\left(-\tfrac{1}{8}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) =\tfrac{1}{4}+2\cdot\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{2} =\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8} =\tfrac{3}{8}.
E o denominador:
(S_{3})^{2}=\left(-\tfrac{1}{8}\right)^{2}=\tfrac{1}{64}.
Portanto
\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{r_k^{2}}=\frac{\tfrac{3}{8}}{\tfrac{1}{64}}=\tfrac{3}{8}\cdot 64=3\cdot 8=24.

Passo 6

Interpretação final: como \dfrac{1}{r_k^{2}}=\operatorname{sec}^{2}(\text{ângulo}_k)â, obtemos
\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{\pi}{7}\right)+\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{3\pi}{7}\right)+\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{5\pi}{7}\right)=24.

Resposta

24

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