Usando o fato anterior, calcule
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a soma
Informações dadas (explícitas no enunciado): os ângulos são
,
e
. Não há outras informações numéricas adicionais no enunciado.
Passo 2
Denotemos
Usando o fato anterior (o enunciado pediu “usando o fato anterior”), podemos usar que
são raízes do polinômio
Agora vamos extrair as somas simétricas dessas raízes a partir dos coeficientes do polinômio. Para um polinômio monico
as relações entre raízes e coeficientes são
Multiplicando o polinômio dado por
para torná-lo monico, obtemos
Portanto, pelas relações de Viète:
Passo 3
Queremos calcular
Vamos transformar
em expressões dos somatórios simétricos
.
Primeiro note que
No numerador temos a soma dos quadrados dos produtos
. Usando a identidade algébrica
conseguimos isolar a soma desejada:
Então
Passo 4
Agora substituímos os valores que encontramos em
Passo 5
Calculamos o numerador:
E o denominador:
Portanto
Passo 6
Interpretação final: como
, obtemos
Resposta
24