Resolva, em
, as equações/inequações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações/extras que temos desde já:
- As bases
e são sempre positivas para todo . - Observação útil:
.
A tarefa é encontrar todos os valores deque satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Para simplificar a expressão, faço a substituição
Explico por que isso ajuda:
para todo
, e como
, a inequação passa a ter apenas potências de
, transformando-se numa inequação algébrica mais simples. Substituindo:
com
.
Passo 3
Multiplico ambos os lados por
. Justificativa:
(pois
), então essa multiplicação preserva o sentido da desigualdade. Ao multiplicar:
que simplifica para
Trago todos os termos para o mesmo lado:
Reescrevendo em ordem decrescente de potências:
Passo 4
Vamos resolver a inequação quadrática
.
Primeiro calculo as raízes do polinômio . O discriminante é
Primeiro calculo as raízes do polinômio
As raízes são
Logo as raízes são
Também posso fatorar o polinômio:
Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima. Portanto a desigualdade
é satisfeita exatamente para
entre as raízes, inclusive. Assim
Lembrando a restrição inicial
, o intervalo
é admissível.
Passo 5
Voltando à variável
: como
e a função
é estritamente crescente, posso aplicar logaritmo base
ou raciocinar sobre potências:
equivale a
pois
e
. Formalmente, tomando
(função estritamente crescente) em
obtém-se
.
Passo 6
Confere rápida nos extremos:
- Para
: (satisfaz igualdade). - Para
: (também satisfaz igualdade).
Escolhendo um ponto interno, por exemplo, tem-se e a desigualdade será satisfeita estritamente; portanto o intervalo fechado é consistente.