Resolva, em \mathbb{R}, as equações/inequações abaixo:
\frac{1}{9^{x}}-\frac{4}{3^{x}} \leqslant-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
\frac{1}{9^{x}}-\frac{4}{3^{x}} \leqslant -3.
Informações/extras que temos desde já:
  • As bases 3^{x} e 9^{x} são sempre positivas para todo x\in\mathbb{R}.
  • Observação útil: 9^{x}=(3^{2})^{x}=3^{2x}=(3^{x})^{2}.
    A tarefa é encontrar todos os valores de x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Para simplificar a expressão, faço a substituição
y=3^{x}.
Explico por que isso ajuda: y>0 para todo x, e como 9^{x}=(3^{x})^{2}=y^{2}, a inequação passa a ter apenas potências de y, transformando-se numa inequação algébrica mais simples. Substituindo:
\frac{1}{9^{x}}-\frac{4}{3^{x}} \leqslant -3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y^{2}}-\frac{4}{y} \leqslant -3,
com y>0.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por y^{2}. Justificativa: y^{2}>0 (pois y>0), então essa multiplicação preserva o sentido da desigualdade. Ao multiplicar:
y^{2}\left(\frac{1}{y^{2}}-\frac{4}{y}\right) \leqslant y^{2}(-3)
que simplifica para
1-4y \leqslant -3y^{2}.
Trago todos os termos para o mesmo lado:
1-4y+3y^{2} \leqslant 0.
Reescrevendo em ordem decrescente de potências:
3y^{2}-4y+1 \leqslant 0.

Passo 4

Vamos resolver a inequação quadrática 3y^{2}-4y+1 \leqslant 0.
Primeiro calculo as raízes do polinômio 3y^{2}-4y+1. O discriminante é
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 3\cdot 1 = 16-12 = 4.
As raízes são
y=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2\cdot 3}=\frac{4\pm 2}{6}.
Logo as raízes são
y_{1}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3},\qquad y_{2}=\frac{4+2}{6}=1.
Também posso fatorar o polinômio:
3y^{2}-4y+1=(3y-1)(y-1).
Como o coeficiente de y^{2} é positivo ( 3>0), a parábola abre para cima. Portanto a desigualdade
3y^{2}-4y+1 \leqslant 0
é satisfeita exatamente para y entre as raízes, inclusive. Assim
\frac{1}{3}\leqslant y \leqslant 1.
Lembrando a restrição inicial y>0, o intervalo \left[\tfrac{1}{3},1\right] é admissível.

Passo 5

Voltando à variável x: como y=3^{x} e a função x\mapsto 3^{x} é estritamente crescente, posso aplicar logaritmo base 3 ou raciocinar sobre potências:
\frac{1}{3}\leqslant 3^{x} \leqslant 1
equivale a
-1 \leqslant x \leqslant 0,
pois 3^{-1}=1/3 e 3^{0}=1. Formalmente, tomando \log_{3} (função estritamente crescente) em \frac{1}{3}\le 3^{x}\le 1 obtém-se -1\le x\le 0.

Passo 6

Confere rápida nos extremos:
  • Para x=0: \dfrac{1}{9^{0}}-\dfrac{4}{3^{0}}=1-4=-3 (satisfaz igualdade).
  • Para x=-1: \dfrac{1}{9^{-1}}-\dfrac{4}{3^{-1}}=9-12=-3 (também satisfaz igualdade).
    Escolhendo um ponto interno, por exemplo x=-\tfrac{1}{2}, tem-se 3^{x}\in(1/3,1) e a desigualdade será satisfeita estritamente; portanto o intervalo fechado é consistente.

Resposta

[-1,0]

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