Ao se deparar com a inequação
um aluno apresentou a seguinte solução:
A solução está correta? Faça uma análise detalhada.
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede para analisar se a solução apresentada pelo aluno
está correta. Informações relevantes que temos:
-
. - Portanto
está no intervalo . - O aluno fez a transformação
e comparou os expoentes como se isso fosse uma equivalência direta, chegando a e então .
Passo 2
Verifico a primeira transformação do aluno: trocar
por
está correta, pois
Até aqui não há erro algébrico. O cuidado aparece no passo seguinte, quando se compara potências com a mesma base.
Passo 3
Explico uma propriedade essencial (aqui vai a “aula rápida” que você pediu): para uma mesma base positiva
e expoentes
,
- se
então é equivalente a (porque a função é crescente); - se
então é equivalente a (porque a função é decrescente).
Um exemplo numérico para fixar a ideia: com
(que está entre 0 e 1),
e de fato
mesmo tendo
— ou seja, maiores expoentes produziram potências menores, porque a base é menor que 1.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso: a base
satisfaz
. Então, a comparação
não implica
, mas sim que os expoentes obedecem a desigualdade invertida:
Ou seja, o aluno cometeu o erro de não inverter o sentido da desigualdade ao comparar expoentes para uma base entre 0 e 1.
Passo 5
Resolvendo corretamente
obtemos
Faço também a resolução via log para confirmar (útil na prova quando quiser um método sistemático): tomando log natural em ambos os lados da inequação original,
Isso dá
Como
e
, a desigualdade fica
Dividindo por
obtemos
, e daí
, que confirma o resultado anterior.
Passo 6
Cheque rápido por valores para ganhar confiança:
- Se
, e é falso (logo não satisfaz). - Se
, é verdadeiro (logo satisfaz).
Esses testes são compatíveis com a solução.
Passo 7
Conclusão clara e direta: o aluno errou ao não inverter a desigualdade ao comparar expoentes porque a base
é menor que 1. A solução correta da inequação é
. Força aí — você já entendeu o ponto crítico: sempre cheque se a base é maior ou menor que 1 antes de comparar expoentes!