Ao se deparar com a inequação
\left(\frac{1}{\pi}\right)^{2 x}>\pi^{3},
um aluno apresentou a seguinte solução:
\left(\frac{1}{\pi}\right)^{2 x}>\pi^{3} \Leftrightarrow\left(\frac{1}{\pi}\right)^{2 x}>\left(\frac{1}{\pi}\right)^{-3} \Leftrightarrow 2 x>-3 \Leftrightarrow x>-\frac{3}{2} .
A solução está correta? Faça uma análise detalhada.

Passo 1

O enunciado dá a inequação
\left(\frac{1}{\pi}\right)^{2x}>\pi^{3}
e pede para analisar se a solução apresentada pelo aluno
x>-\frac{3}{2}
está correta. Informações relevantes que temos:
  • \pi>1.
  • Portanto \dfrac{1}{\pi} está no intervalo 0<\dfrac{1}{\pi}<1.
  • O aluno fez a transformação \pi^{3}=\left(\dfrac{1}{\pi}\right)^{-3} e comparou os expoentes como se isso fosse uma equivalência direta, chegando a 2x>-3 e então x>-\dfrac{3}{2}.

Passo 2

Verifico a primeira transformação do aluno: trocar \pi^{3} por \left(\dfrac{1}{\pi}\right)^{-3} está correta, pois
\left(\frac{1}{\pi}\right)^{-3}=(\pi)^{3}.
Até aqui não há erro algébrico. O cuidado aparece no passo seguinte, quando se compara potências com a mesma base.

Passo 3

Explico uma propriedade essencial (aqui vai a “aula rápida” que você pediu): para uma mesma base positiva b e expoentes u,v,
  • se b>1 então b^{u}>b^{v} é equivalente a u>v (porque a função b^{t} é crescente);
  • se 0<b<1 então b^{u}>b^{v} é equivalente a u<v (porque a função b^{t} é decrescente).
Um exemplo numérico para fixar a ideia: com b=\tfrac{1}{2} (que está entre 0 e 1),
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}=\tfrac{1}{2},\qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4},
e de fato \tfrac{1}{2}>\tfrac{1}{4} mesmo tendo 1<2 — ou seja, maiores expoentes produziram potências menores, porque a base é menor que 1.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: a base b=\dfrac{1}{\pi} satisfaz 0<b<1. Então, a comparação
\left(\frac{1}{\pi}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{\pi}\right)^{-3}
não implica 2x>-3, mas sim que os expoentes obedecem a desigualdade invertida:
2x< -3.
Ou seja, o aluno cometeu o erro de não inverter o sentido da desigualdade ao comparar expoentes para uma base entre 0 e 1.

Passo 5

Resolvendo corretamente 2x< -3 obtemos
x< -\frac{3}{2}.
Faço também a resolução via log para confirmar (útil na prova quando quiser um método sistemático): tomando log natural em ambos os lados da inequação original,
\ln\!\left(\left(\frac{1}{\pi}\right)^{2x}\right)>\ln(\pi^{3}).
Isso dá
2x\ln\!\left(\frac{1}{\pi}\right)>3\ln\pi.
Como \ln\!\left(\dfrac{1}{\pi}\right)=-\ln\pi e \ln\pi>0, a desigualdade fica
-2x\ln\pi>3\ln\pi.
Dividindo por \ln\pi>0 obtemos -2x>3, e daí x<-\dfrac{3}{2}, que confirma o resultado anterior.

Passo 6

Cheque rápido por valores para ganhar confiança:
  • Se x=0, \left(\tfrac{1}{\pi}\right)^{0}=1 e 1>\pi^{3} é falso (logo x=0 não satisfaz).
  • Se x=-2, \left(\tfrac{1}{\pi}\right)^{-4}=\pi^{4}>\pi^{3} é verdadeiro (logo x=-2 satisfaz).
    Esses testes são compatíveis com a solução x<-\tfrac{3}{2}.

Passo 7

Conclusão clara e direta: o aluno errou ao não inverter a desigualdade ao comparar expoentes porque a base \dfrac{1}{\pi} é menor que 1. A solução correta da inequação é x<-\dfrac{3}{2}. Força aí — você já entendeu o ponto crítico: sempre cheque se a base é maior ou menor que 1 antes de comparar expoentes!

Resposta

x<-\dfrac{3}{2}

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