Sob a ação de um agente bactericida, uma população de bactérias reduz em um quarto a cada hora. Escreva a expressão da população em função do tempo
em horas, sabendo que, ao início da aplicação do bactericida, ela é estimada em 1.000.000.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma expressão da população em função do tempo:
- A população inicial, ao início da aplicação do bactericida, é
. - A cada hora a população “reduz em um quarto”.
- A pergunta: escrever a expressão que dá a população em função do tempo
(em horas).
Passo 2
Interpretação do enunciado (importante): a frase “reduz em um quarto a cada hora” pode ser lida de duas formas distintas:
- Interpretação A: a população diminui em uma fração de
do seu valor por hora, ou seja, a cada hora perde e fica com do que tinha. Nesse caso o fator de multiplicação por hora é . - Interpretação B: a população passa a ser um quarto do valor anterior a cada hora, ou seja, fica com
do que tinha; nesse caso o fator por hora é .
Vou adotar a interpretação A (reduz em um quarto = diminui por um quarto do atual) porque essa é a leitura literal mais comum de “reduzir em um quarto” (reduzir EM = subtrair esta fração). Se o enunciado quisesse dizer que passa a ser um quarto, teria usado “reduz a um quarto” ou “fica em um quarto”. Mesmo assim, no final mostro rapidamente a fórmula alternativa para o caso B.
Passo 3
Modelagem matemática passo a passo (por que esse formato):
- Denotemos por
a população de bactérias após horas. - Se a cada hora a população é multiplicada por um fator constante
, então após hora ; após horas ; após horas ; e assim por diante. Essa sequência é uma progressão geométrica em que a razão é . - Em geral, para
horas, o modelo é
Aqui:
-
é a população depois de horas, -
é a população inicial, -
é o fator de cada hora (fração que permanece após cada hora), -
é o número de horas (normalmente um número inteiro não negativo; a fórmula também é usada para real se se aceitar interpolação contínua).
Passo 4
Aplicando os números do enunciado com a interpretação escolhida:
- A população inicial é
(ou ). - Pelo raciocínio do Passo 2, o fator por hora é
.
Substituindo emobtemos
Passo 5
Verificações numéricas rápidas (para fixar a ideia):
- Após
hora:
- Após
horas:
- Após
horas:
Esses cálculos mostram como aplicar a fórmula na prova: identificar
, identificar
(fração que resta a cada passo) e elevar
a
.
Passo 6
Observação sobre a alternativa (caso o enunciado quisesse dizer “fica com um quarto” em cada hora):
- Se a intenção fosse que a população passa a ser um quarto do valor anterior a cada hora (interpretação B), o fator seria
e a fórmula seria
Mas, conforme explicado, escolhi a interpretação A como a mais natural para “reduz em um quarto”.