Sob a ação de um agente bactericida, uma população de bactérias reduz em um quarto a cada hora. Escreva a expressão da população em função do tempo t em horas, sabendo que, ao início da aplicação do bactericida, ela é estimada em 1.000.000.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma expressão da população em função do tempo:
  • A população inicial, ao início da aplicação do bactericida, é 1{,}000{,}000.
  • A cada hora a população “reduz em um quarto”.
  • A pergunta: escrever a expressão que dá a população em função do tempo t (em horas).

Passo 2

Interpretação do enunciado (importante): a frase “reduz em um quarto a cada hora” pode ser lida de duas formas distintas:
  • Interpretação A: a população diminui em uma fração de 1/4 do seu valor por hora, ou seja, a cada hora perde 25\% e fica com 75\% do que tinha. Nesse caso o fator de multiplicação por hora é 1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
  • Interpretação B: a população passa a ser um quarto do valor anterior a cada hora, ou seja, fica com 25\% do que tinha; nesse caso o fator por hora é \tfrac{1}{4}.
Vou adotar a interpretação A (reduz em um quarto = diminui por um quarto do atual) porque essa é a leitura literal mais comum de “reduzir em um quarto” (reduzir EM = subtrair esta fração). Se o enunciado quisesse dizer que passa a ser um quarto, teria usado “reduz a um quarto” ou “fica em um quarto”. Mesmo assim, no final mostro rapidamente a fórmula alternativa para o caso B.

Passo 3

Modelagem matemática passo a passo (por que esse formato):
  • Denotemos por P(t) a população de bactérias após t horas.
  • Se a cada hora a população é multiplicada por um fator constante r, então após 1 hora P(1)=P(0)\,r; após 2 horas P(2)=P(0)\,r^2; após 3 horas P(3)=P(0)\,r^3; e assim por diante. Essa sequência é uma progressão geométrica em que a razão é r.
  • Em geral, para t horas, o modelo é
P(t)=P(0)\,r^{t}.
Aqui:
  • P(t) é a população depois de t horas,
  • P(0) é a população inicial,
  • r é o fator de cada hora (fração que permanece após cada hora),
  • t é o número de horas (normalmente um número inteiro não negativo; a fórmula também é usada para t real se se aceitar interpolação contínua).

Passo 4

Aplicando os números do enunciado com a interpretação escolhida:
  • A população inicial é P(0)=10^{6} (ou 1{,}000{,}000).
  • Pelo raciocínio do Passo 2, o fator por hora é r=\tfrac{3}{4}.
    Substituindo em \;P(t)=P(0)\,r^{t}\; obtemos
P(t)=10^{6}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{t}.

Passo 5

Verificações numéricas rápidas (para fixar a ideia):
  • Após 1 hora:
P(1)=10^{6}\cdot\dfrac{3}{4}=750{,}000.
  • Após 2 horas:
P(2)=10^{6}\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=10^{6}\cdot\dfrac{9}{16}=562{,}500.
  • Após 3 horas:
P(3)=10^{6}\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}=421{,}875.
Esses cálculos mostram como aplicar a fórmula na prova: identificar P(0), identificar r (fração que resta a cada passo) e elevar r a t.

Passo 6

Observação sobre a alternativa (caso o enunciado quisesse dizer “fica com um quarto” em cada hora):
  • Se a intenção fosse que a população passa a ser um quarto do valor anterior a cada hora (interpretação B), o fator seria r=\tfrac{1}{4} e a fórmula seria
P(t)=10^{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{t}.
Mas, conforme explicado, escolhi a interpretação A como a mais natural para “reduz em um quarto”.

Resposta

P(t)=10^{6}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{t}

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