Seja A o retângulo 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1 calcule integral duplaA f(x, y) d A quando f(x, y)=
raizx+y

Passo 1

Temos a região A definida pelo retângulo
1 <= x <= 2, 0 <= y <= 1
e queremos calcular a integral dupla
integral duplaA f(x,y),dA
com f(x,y)=raizx+y. O conteúdo aqui é integração iterada em um retângulo, e precisaremos usar substituição para integrar raizx+y em y e em seguida integrar em x.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada escolhendo integrar primeiro em y:
integral duplaAraizx+y,dA =integralx=1^2l[integraly=0^1raizx+y,dyr]dx

Passo 3

Para a integral interna em y fazemos a substituição
u = x + y, du = dy,
quando y=0 temos u=x e quando y=1 temos u=x+1. Assim
integral0^1raizx+y,dy =integralu=x^,x+1u^1/2,du =l[tfrac23u^3/2r]u=x^,x+1 =tfrac23l[(x+1)^3/2-x^3/2r]

Passo 4

Substituindo na integral em x obtemos
integral1^2tfrac23l[(x+1)^3/2-x^3/2r]dx =tfrac23l[integral1^2(x+1)^3/2dx-integral1^2x^3/2dxr]

Passo 5

Calculamos separadamente:
integral1^2x^3/2dx =l[tfrac25x^5/2r]1^2 =tfrac25l(2^5/2-1r),
e fazendo t=x+1 em integral1^2(x+1)^3/2dx vai de t=2 a t=3:
integral1^2(x+1)^3/2dx =integral2^3t^3/2dt =l[tfrac25t^5/2r]2^3 =tfrac25l(3^5/2-2^5/2r)
Logo a diferença é
tfrac25l(3^5/2-2^5/2r) -tfrac25l(2^5/2-1r) =tfrac25l(3^5/2-2cdot2^5/2+1r)
Multiplicando por tfrac23
tfrac23cdottfrac25 l(3^5/2-2cdot2^5/2+1r) =tfrac415l(3^5/2-2cdot2^5/2+1r)

Resposta

integral duplaAraizx+y,dA =tfrac415l(3^5/2-2cdot2^5/2+1r)

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