Resolva, em \mathbb{R}, as inequações.
|x-6| \leq x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
|x-6| \leq x.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e ela varia em \mathbb{R}.
  • A expressão envolve valor absoluto |x-6| e o lado direito é x.
  • Quer-se o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto: para qualquer número real y\) vale \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Uma propriedade útil (que vamos usar) é: se a\ge 0\] então \[|u| \le a \quad\Longleftrightarrow\quad -a \le u \le a.\] Note: essa equivalência só faz sentido quando \(a é não-negativo, porque |u|\ge0 sempre.]

Passo 3

Aplicando a observação do passo anterior ao nosso caso: aqui o papel de u é x-6 e o papel de a é x. Logo precisamos ter primeiro x\ge 0, caso contrário o lado direito seria negativo e não poderia ser maior ou igual a |x-6| (pois |x-6|\ge 0). Portanto, qualquer solução deve satisfazer
x\ge 0.

Passo 4

Concluir sobre x<0: se x<0 então o lado direito x é negativo e o lado esquerdo |x-6| é \ge 0, então nunca ocorre |x-6|\le x. Logo não há soluções com x<0.

Passo 5

Agora restringimos a busca para x\ge 0. Nessa região podemos aplicar a equivalência do passo 2:
|x-6| \le x \quad\Longleftrightarrow\quad -x \le x-6 \le x,
válido porque agora a=x\ge0.

Passo 6

Resolver as duas desigualdades simultâneas provenientes de -x \le x-6 \le x.
Primeiro a desigualdade da esquerda:
-x \le x-6.
Passos algébricos (cada passo bem explicado):
  • Somar x em ambos os lados dá 0 \le 2x-6.
  • Somar 6 em ambos os lados dá 6 \le 2x.
  • Dividir por 2 (positivo, então a desigualdade mantém o sentido) dá 3 \le x, ou seja x\ge 3.

Passo 7

Agora a desigualdade da direita:
x-6 \le x.
Subtrair x em ambos os lados dá -6 \le 0, que é sempre verdadeira. Portanto essa parte não impõe restrição adicional sobre x; qualquer x satisfaz essa desigualdade.

Passo 8

Combinar as condições obtidas:
  • Da validade da equivalência precisamos de x\ge 0.
  • Da primeira desigualdade obtemos x\ge 3.
  • Da segunda desigualdade não há restrição adicional.
    Juntando tudo, a restrição dominante é x\ge 3.

Passo 9

Verificação rápida (checar pontos críticos):
  • Para x=3: |3-6|=3\le 3 — verdadeiro.
  • Para x=0: |0-6|=6\le 0 — falso (já esperávamos).
  • Para x=10: |10-6|=4\le 10 — verdadeiro.
    Isso confirma que a solução é todo x a partir de 3.

Resposta

[3,\infty)

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