Resolva, em
, as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações dadas:
- A incógnita é
e ela varia em . - A expressão envolve valor absoluto
e o lado direito é . - Quer-se o conjunto de todos os
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto: para qualquer número real
Uma propriedade útil (que vamos usar) é: se
é não-negativo, porque
sempre.]
Passo 3
Aplicando a observação do passo anterior ao nosso caso: aqui o papel de
é
e o papel de
é
. Logo precisamos ter primeiro
, caso contrário o lado direito seria negativo e não poderia ser maior ou igual a
(pois
). Portanto, qualquer solução deve satisfazer
Passo 4
Concluir sobre
: se
então o lado direito
é negativo e o lado esquerdo
é
, então nunca ocorre
. Logo não há soluções com
.
Passo 5
Agora restringimos a busca para
. Nessa região podemos aplicar a equivalência do passo 2:
válido porque agora
.
Passo 6
Resolver as duas desigualdades simultâneas provenientes de
.
Primeiro a desigualdade da esquerda:
Primeiro a desigualdade da esquerda:
Passos algébricos (cada passo bem explicado):
- Somar
em ambos os lados dá . - Somar
em ambos os lados dá . - Dividir por
(positivo, então a desigualdade mantém o sentido) dá , ou seja .
Passo 7
Agora a desigualdade da direita:
Subtrair
em ambos os lados dá
, que é sempre verdadeira. Portanto essa parte não impõe restrição adicional sobre
; qualquer
satisfaz essa desigualdade.
Passo 8
Combinar as condições obtidas:
- Da validade da equivalência precisamos de
. - Da primeira desigualdade obtemos
. - Da segunda desigualdade não há restrição adicional.
Juntando tudo, a restrição dominante é.
Passo 9
Verificação rápida (checar pontos críticos):
- Para
: — verdadeiro. - Para
: — falso (já esperávamos). - Para
: — verdadeiro.
Isso confirma que a solução é todoa partir de .