Resolva, em \mathbb{R}, as inequações modulares.
|2 x+1|<3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação modular:
|2x+1|<3.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do módulo é 2x+1.
  • A desigualdade é estrita: <3.
  • O universo da solução é os números reais \mathbb{R}.
    O que se pede: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem |2x+1|<3.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para números reais A e B>0 vale a equivalência
|A|<B \quad\Longleftrightarrow\quad -B<A<B.
Por quê? O valor absoluto |A| mede a distância de A até 0. Dizer que essa distância é menor que B significa que A está dentro do intervalo aberto de raio B ao redor de 0, isto é, entre -B e B. Essa é a ferramenta básica para transformar inequações com módulo em inequações lineares.

Passo 3

Aplicando a equivalência ao nosso problema com A=2x+1 e B=3, obtemos a inequação composta
-3 < 2x+1 < 3.
Agora vamos resolver essa desigualdade composta passo a passo, manipulando-a como uma única cadeia de desigualdades.

Passo 4

Primeira operação: subtrair 1 de todos os três termos. Subtrair a mesma quantidade em todos os termos preserva as desigualdades. Fazendo isso:
-3-1 < 2x+1-1 < 3-1
que simplifica para
-4 < 2x < 2.

Passo 5

Segunda operação: dividir todos os três termos por 2. Como 2 é positivo, a direção das desigualdades não se altera ao dividir. Dividindo cada termo por 2:
\frac{-4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{2}{2}
que dá
-2 < x < 1.

Passo 6

Interpretação final: a solução consiste em todos os números reais x estritamente entre -2 e 1. Em notação de intervalo, a solução é o intervalo aberto (-2,1). Dica rápida para a prova: se preferir, também é possível resolver por casos (quando 2x+1\ge0 e quando 2x+1<0), mas a técnica do duplo-inequação que usamos é mais direta e rápida para esse tipo de problema.

Resposta

(-2,1)

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