Resolva, em
, as inequações modulares.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação modular:
Informações dadas:
- A expressão dentro do módulo é
. - A desigualdade é estrita:
. - O universo da solução é os números reais
.
O que se pede: encontrar todos osque satisfazem .
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para números reais
e
vale a equivalência
Por quê? O valor absoluto
mede a distância de
até
. Dizer que essa distância é menor que
significa que
está dentro do intervalo aberto de raio
ao redor de
, isto é, entre
e
. Essa é a ferramenta básica para transformar inequações com módulo em inequações lineares.
Passo 3
Aplicando a equivalência ao nosso problema com
e
, obtemos a inequação composta
Agora vamos resolver essa desigualdade composta passo a passo, manipulando-a como uma única cadeia de desigualdades.
Passo 4
Primeira operação: subtrair
de todos os três termos. Subtrair a mesma quantidade em todos os termos preserva as desigualdades. Fazendo isso:
que simplifica para
Passo 5
Segunda operação: dividir todos os três termos por
. Como
é positivo, a direção das desigualdades não se altera ao dividir. Dividindo cada termo por
:
que dá
Passo 6
Interpretação final: a solução consiste em todos os números reais
estritamente entre
e
. Em notação de intervalo, a solução é o intervalo aberto
. Dica rápida para a prova: se preferir, também é possível resolver por casos (quando
e quando
), mas a técnica do duplo-inequação que usamos é mais direta e rápida para esse tipo de problema.