Resolva, em \mathbb{Z}, as equações:
8 X-13 Y=23

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{Z} a equação
8X-13Y=23.
Ou seja, encontrar todos os pares (X,Y) inteiros que satisfazem essa igualdade. As informações dadas são apenas os coeficientes 8, -13 e o termo independente 23.

Passo 2

Condição de existência: uma equação diofantina linear aX+bY=c tem solução inteira se, e só se, \gcd(a,b) divide c. Então calculamos o \gcd(8,13) usando o algoritmo de Euclides:
\begin{aligned} 13 &= 8\cdot1 + 5,\\\\ 8 &= 5\cdot1 + 3,\\\\ 5 &= 3\cdot1 + 2,\\\\ 3 &= 2\cdot1 + 1,\\\\ 2 &= 1\cdot2 + 0. \end{aligned}
Da última linha não nula obtemos \gcd(8,13)=1. Como 1 divide 23, a equação tem soluções inteiras.

Passo 3

Estratégia prática: primeiro encontramos uma solução particular. Uma maneira rápida é trabalhar módulo 13 para eliminar Y. A equação dá
8X \equiv 23 \pmod{13}.
Para resolver isso precisamos do inverso de 8 módulo 13. Observa-se que
8\cdot5=40\equiv1\pmod{13},
portanto 8^{-1}\equiv5\pmod{13}. Multiplicando ambos os lados por 5 obtemos
X\equiv 5\cdot23 \pmod{13}.
Calculando 5\cdot23=115 e reduzindo módulo 13:
115=13\cdot8+11 \quad\Rightarrow\quad 115\equiv11\pmod{13}.
Logo
X\equiv11\pmod{13},
isto é, X=11+13t para algum t\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora determinamos Y em função de t. Substituímos X=11+13t na equação original:
8(11+13t)-13Y=23.
Desenvolvendo:
88+104t-13Y=23.
Isolando 13Y:
-13Y=23-88-104t=-65-104t.
Multiplicando por -1:
13Y=65+104t.
Dividindo por 13:
Y=5+8t.

Passo 5

Interpretação estrutural (por que os incrementos são 13 e 8): as soluções gerais de uma equação linear homogênea associada 8X-13Y=0 satisfazem 8X=13Y. Isso implica que X é múltiplo de 13 e Y é múltiplo de 8, ou seja X=13k, Y=8k. Assim, a diferença entre quaisquer duas soluções da equação original é um múltiplo de (13,8). Por isso a solução geral é dada por uma solução particular mais k(13,8). No nosso caso a solução particular mínima encontrada é X=11, Y=5, e então a solução geral é exactamente
X=11+13t,\qquad Y=5+8t,\qquad t\in\mathbb{Z}.

Resposta

\displaystyle X=11+13t,\quad Y=5+8t,\quad t\in\mathbb{Z}

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