Resolva, em
, as equações:
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
a equação
Ou seja, encontrar todos os pares
inteiros que satisfazem essa igualdade. As informações dadas são apenas os coeficientes
,
e o termo independente
.
Passo 2
Condição de existência: uma equação diofantina linear
tem solução inteira se, e só se,
divide
. Então calculamos o
usando o algoritmo de Euclides:
Da última linha não nula obtemos
. Como
divide
, a equação tem soluções inteiras.
Passo 3
Estratégia prática: primeiro encontramos uma solução particular. Uma maneira rápida é trabalhar módulo
para eliminar
. A equação dá
Para resolver isso precisamos do inverso de
módulo
. Observa-se que
portanto
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Calculando
e reduzindo módulo
:
Logo
isto é,
para algum
.
Passo 4
Agora determinamos
em função de
. Substituímos
na equação original:
Desenvolvendo:
Isolando
:
Multiplicando por
:
Dividindo por
:
Passo 5
Interpretação estrutural (por que os incrementos são
e
): as soluções gerais de uma equação linear homogênea associada
satisfazem
. Isso implica que
é múltiplo de
e
é múltiplo de
, ou seja
,
. Assim, a diferença entre quaisquer duas soluções da equação original é um múltiplo de
. Por isso a solução geral é dada por uma solução particular mais
. No nosso caso a solução particular mínima encontrada é
,
, e então a solução geral é exactamente