Verifique se os planos são paralelos e calcule a distância entre eles. ( 1,5 pontos)
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede duas coisas: verificar se são paralelos e, se forem, calcular a distância entre eles. As equações fornecidas são:
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficientes das variáveis em cada equação (esses são os vetores normais).
- Termos constantes à direita:
e .
O que se precisa entregar: - Se os planos são paralelos (ou coincidentes).
- Se paralelos distintos, a distância entre eles.
Passo 2
Entender o conceito-chave (explicação didática): todo plano na forma
tem um vetor normal dado por
Esse vetor é perpendicular a qualquer direção contida no plano. Dois planos são paralelos (ou coincidentes) quando seus vetores normais são proporcionais, ou seja, quando um é múltiplo escalar do outro.
Calculemos os vetores normais dos dois planos dados:
Observação: todos os componentes de
são o dobro dos de
. Logo
Portanto os vetores normais são proporcionais, o que indica que os planos são paralelos ou coincidentes.
Passo 3
Agora precisamos distinguir entre “paralelos distintos” e “o mesmo plano (coincidentes)”. Se as equações forem múltiplas uma da outra (mesmo fator em todos os coeficientes incluindo o termo constante), então os planos coincidem; caso contrário, são paralelos distintos.
Dividindo a segunda equação por
para comparar com a primeira:
Compare com a primeira:
Os vetores normais agora coincidem, mas os termos constantes são diferentes (
versus
), então as equações não são múltiplos completas uma da outra. Conclusão: os planos são paralelos e distintos.
Passo 4
Agora a distância entre dois planos paralelos (com a mesma direção normal) pode ser obtida assim (explicação e fórmula):
Se os planos estão escritos como
Se os planos estão escritos como
e
onde
é o mesmo vetor normal para ambos, então a distância mínima entre eles (medida ao longo da direção normal) é
Justificativa curta e intuitiva: escolha um ponto qualquer de um plano; a diferença entre os dois lados das equações ao avaliar esse ponto mede quanto falta na direção do normal para atingir o outro plano; dividir pelo comprimento do normal converte isso em distância geométrica.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso: já alinhamos os dois planos com o mesmo vetor normal ao dividir a segunda equação por
. Assim temos as formas
Aqui
,
,
. Calculemos a norma de
:
Passo 6
Calcule a diferença absoluta dos termos constantes:
Agora a distância é
Se quiser um valor aproximado para intuição:
Resposta
Os planos são paralelos e distintos.