Verifique se os planos são paralelos e calcule a distância entre eles. ( 1,5 pontos)
\begin{aligned} & 4 x-4 y+9 z=7 \\\ & 8 x-8 y+18 z=36 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede duas coisas: verificar se são paralelos e, se forem, calcular a distância entre eles. As equações fornecidas são:
4x-4y+9z=7
8x-8y+18z=36
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes das variáveis em cada equação (esses são os vetores normais).
  • Termos constantes à direita: 7 e 36.
    O que se precisa entregar:
  • Se os planos são paralelos (ou coincidentes).
  • Se paralelos distintos, a distância entre eles.

Passo 2

Entender o conceito-chave (explicação didática): todo plano na forma
ax+by+cz=d
tem um vetor normal dado por
\mathbf{n}=(a,b,c).
Esse vetor é perpendicular a qualquer direção contida no plano. Dois planos são paralelos (ou coincidentes) quando seus vetores normais são proporcionais, ou seja, quando um é múltiplo escalar do outro.
Calculemos os vetores normais dos dois planos dados:
\mathbf{n}_1=(4,-4,9)
\mathbf{n}_2=(8,-8,18)
Observação: todos os componentes de \mathbf{n}_2 são o dobro dos de \mathbf{n}_1. Logo
\mathbf{n}_2=2\mathbf{n}_1.
Portanto os vetores normais são proporcionais, o que indica que os planos são paralelos ou coincidentes.

Passo 3

Agora precisamos distinguir entre “paralelos distintos” e “o mesmo plano (coincidentes)”. Se as equações forem múltiplas uma da outra (mesmo fator em todos os coeficientes incluindo o termo constante), então os planos coincidem; caso contrário, são paralelos distintos.
Dividindo a segunda equação por 2 para comparar com a primeira:
\frac{1}{2}\bigl(8x-8y+18z=36\bigr)\quad\Rightarrow\quad 4x-4y+9z=18.
Compare com a primeira:
4x-4y+9z=7.
Os vetores normais agora coincidem, mas os termos constantes são diferentes ( 18 versus 7), então as equações não são múltiplos completas uma da outra. Conclusão: os planos são paralelos e distintos.

Passo 4

Agora a distância entre dois planos paralelos (com a mesma direção normal) pode ser obtida assim (explicação e fórmula):
Se os planos estão escritos como
\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=d_1
e
\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=d_2,
onde \mathbf{n} é o mesmo vetor normal para ambos, então a distância mínima entre eles (medida ao longo da direção normal) é
\text{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\|\mathbf{n}\|}.
Justificativa curta e intuitiva: escolha um ponto qualquer de um plano; a diferença entre os dois lados das equações ao avaliar esse ponto mede quanto falta na direção do normal para atingir o outro plano; dividir pelo comprimento do normal converte isso em distância geométrica.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso: já alinhamos os dois planos com o mesmo vetor normal ao dividir a segunda equação por 2. Assim temos as formas
4x-4y+9z=7 \quad\text{e}\quad 4x-4y+9z=18.
Aqui \mathbf{n}=(4,-4,9), d_1=7, d_2=18. Calculemos a norma de \mathbf{n}:
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{4^2+(-4)^2+9^2}=\sqrt{16+16+81}=\sqrt{113}.

Passo 6

Calcule a diferença absoluta dos termos constantes:
|d_2-d_1|=|18-7|=11.
Agora a distância é
\text{dist}=\frac{11}{\sqrt{113}}.
Se quiser um valor aproximado para intuição:
\sqrt{113}\approx 10{,}630\quad\Rightarrow\quad \text{dist}\approx \frac{11}{10{,}630}\approx 1{,}035.

Resposta

Os planos são paralelos e distintos.
\displaystyle \text{Distância}=\frac{11}{\sqrt{113}}\approx 1{,}035â

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