Seja b \in \mathbb{N} tal que b=r_{n} 10^{n}+r_{n-1} 10^{n-1}+\cdots+r_{1} 10+r_{0}, onde cada r_{i} é um inteiro tal que 0 \leq r_{i}<10. Nestas condições mostre que:
11 \mid b se, e somente se, 11 \mid r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá um número natural b escrito em base decimal pela expansão
b = r_{n}10^{n}+r_{n-1}10^{n-1}+\cdots+r_{1}10+r_{0},
onde cada dígito satisfaz 0 \le r_{i} < 10.
A tarefa é mostrar a equivalência bicondicional:
11 \mid b \quad\text{se, e somente se,}\quad 11 \mid r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}+\cdots.
Em outras palavras, provar que b é divisível por 11 exatamente quando a soma alternada dos seus dígitos (começando por r_{0} com sinal positivo) é divisível por 11.

Passo 2

Vou explicar a ideia básica que vou usar: trabalhar com congruências módulo \,11.
Definição útil: dadas duas inteiros a e c, dizemos que a\equiv c\pmod{11} quando 11 divide a-c. Propriedades que vamos usar (sem prova detalhada, pois são diretas):
  • Se a\equiv c\pmod{11} e b\equiv d\pmod{11}, então a+b\equiv c+d\pmod{11} \quad\text{e}\quad a\cdot b\equiv c\cdot d\pmod{11}.
Essas propriedades permitem substituir termos por outros congruentes módulo \,11 e somá-los ou multiplicá-los mantendo a congruência.

Passo 3

Agora observo a congruência central para a prova: o número \,10 é congruente a -1 módulo \,11, porque
10 - (-1) = 11,
portanto
10 \equiv -1 \pmod{11}.
Usando a propriedade do produto, elevando ambos os lados à potência k obtemos, por indução ou por multiplicação repetida,
10^{k} \equiv (-1)^{k} \pmod{11}
para todo inteiro k\ge 0. Isso significa que cada potência de 10 se reduz, módulo 11, ao sinal alternado +1 ou -1 dependendo do expoente.

Passo 4

Volto à expansão de b. Aplicando congruência termo a termo (pela linearidade), escrevo:
b = \sum_{i=0}^{n} r_{i} 10^{i} \equiv \sum_{i=0}^{n} r_{i} (-1)^{i} \pmod{11},
pois substituí 10^{i} por (-1)^{i} usando 10^{i}\equiv(-1)^{i}\pmod{11}. O membro da direita é exatamente a soma alternada dos dígitos:
\sum_{i=0}^{n} r_{i} (-1)^{i} = r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}+\cdots.

Passo 5

A congruência anterior diz que
b \equiv r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}+\cdots \pmod{11}.
Isso implica imediatamente a equivalência buscada:
  • Se 11\mid b, então b\equiv 0\pmod{11}, daí a soma alternada é congruente a 0 módulo 11, ou seja 11 divide a soma alternada.
  • Reciprocamente, se 11 divide a soma alternada, então essa soma é congruente a 0 módulo 11, e pela congruência acima b também é congruente a 0 módulo 11, isto é 11\mid b.
Portanto temos a equivalência bicondicional desejada.

Passo 6

Um exemplo rápido para fixar a intuição: b=341 tem dígitos r_{2}=3,r_{1}=4,r_{0}=1. A soma alternada é
r_{0}-r_{1}+r_{2}=1-4+3=0,
que é divisível por 11. De fato 341=11\cdot 31. Se a soma alternada não der múltiplo de 11 (por exemplo 123 tem 1-2+3=2), então 123 não é divisível por 11.

Resposta

\;11\mid b\iff 11\mid r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}+\cdots\;

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