Seja
tal que
, onde cada
é um inteiro tal que
. Nestas condições mostre que:
se, e somente se,
Passo 1
O enunciado dá um número natural
escrito em base decimal pela expansão
onde cada dígito satisfaz
.
A tarefa é mostrar a equivalência bicondicional:
A tarefa é mostrar a equivalência bicondicional:
Em outras palavras, provar que
é divisível por
exatamente quando a soma alternada dos seus dígitos (começando por
com sinal positivo) é divisível por
.
Passo 2
Vou explicar a ideia básica que vou usar: trabalhar com congruências módulo
.
Definição útil: dadas duas inteiros e
, dizemos que
quando
divide
. Propriedades que vamos usar (sem prova detalhada, pois são diretas):
Definição útil: dadas duas inteiros
- Se
e , então
Essas propriedades permitem substituir termos por outros congruentes módulo
e somá-los ou multiplicá-los mantendo a congruência.
Passo 3
Agora observo a congruência central para a prova: o número
é congruente a
módulo
, porque
portanto
Usando a propriedade do produto, elevando ambos os lados à potência
obtemos, por indução ou por multiplicação repetida,
para todo inteiro
. Isso significa que cada potência de
se reduz, módulo
, ao sinal alternado
ou
dependendo do expoente.
Passo 4
Volto à expansão de
. Aplicando congruência termo a termo (pela linearidade), escrevo:
pois substituí
por
usando
. O membro da direita é exatamente a soma alternada dos dígitos:
Passo 5
A congruência anterior diz que
Isso implica imediatamente a equivalência buscada:
- Se
, então , daí a soma alternada é congruente a módulo , ou seja divide a soma alternada. - Reciprocamente, se
divide a soma alternada, então essa soma é congruente a módulo , e pela congruência acima também é congruente a módulo , isto é .
Portanto temos a equivalência bicondicional desejada.
Passo 6
Um exemplo rápido para fixar a intuição:
tem dígitos
. A soma alternada é
que é divisível por
. De fato
. Se a soma alternada não der múltiplo de
(por exemplo
tem
), então
não é divisível por
.