Resolva, em
, as seguintes inequações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações dadas:
- A expressão é uma potência com base
e expoente . - A incógnita
é real (procuramos todas as soluções em ).
O que se quer: encontrar todos os números reaisque tornam verdadeira a desigualdade acima.
Passo 2
Observação sobre a função exponencial e domínio: a função
está bem definida para todo
. Logo, a solução potencial será um subconjunto de
.
Passo 3
Transformar os dois lados da inequação para potências da mesma base facilita a comparação. Vamos escrever
como potência de
.
Calcule:
Calcule:
Portanto podemos reescrever a inequação como
Passo 4
Propriedade fundamental usada (explicação didática):
- Se a base
satisfaz , a função é estritamente crescente. Isso significa que, para quaisquer reais e ,
Motivo rápido: pode-se aplicar o logaritmo natural (que é crescente) em ambos os lados. Por exemplo, tomando
em
obtém-se
; como
(quando
), divide-se por
sem mudar o sentido da desigualdade, chegando em
.
No nosso caso a base é
. Aplicando a propriedade à desigualdade
obtemos equivalência com a desigualdade dos expoentes:
Passo 5
Resolver a desigualdade linear obtida:
Escrevendo como intervalo, a solução é
.
Passo 6
Checagens rápidas (para confiar no resultado):
- Se
, então , satisfaz (igualdade). - Se
, então , não satisfaz.
Esses testes são consistentes com a solução.