Resolva, em \mathbf{R}, as seguintes inequações exponenciais:
4^{x+2} \geq 64

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbf{R}, a inequação
4^{x+2} \geq 64.
Informações dadas:
  • A expressão é uma potência com base 4 e expoente x+2.
  • A incógnita x é real (procuramos todas as soluções em \mathbb{R}).
    O que se quer: encontrar todos os números reais x que tornam verdadeira a desigualdade acima.

Passo 2

Observação sobre a função exponencial e domínio: a função x\mapsto 4^{x+2} está bem definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo, a solução potencial será um subconjunto de \mathbb{R}.

Passo 3

Transformar os dois lados da inequação para potências da mesma base facilita a comparação. Vamos escrever 64 como potência de 4.
Calcule:
4^3 = (2^2)^3 = 2^{6} = 64.
Portanto podemos reescrever a inequação como
4^{x+2} \geq 4^{3}.

Passo 4

Propriedade fundamental usada (explicação didática):
  • Se a base a satisfaz a>1, a função t\mapsto a^{t} é estritamente crescente. Isso significa que, para quaisquer reais u e v,
a^{u} \ge a^{v} \quad\Longleftrightarrow\quad u \ge v.
Motivo rápido: pode-se aplicar o logaritmo natural (que é crescente) em ambos os lados. Por exemplo, tomando \ln em a^{u}\ge a^{v} obtém-se u\ln a \ge v\ln a; como \ln a>0 (quando a>1), divide-se por \ln a sem mudar o sentido da desigualdade, chegando em u\ge v.
No nosso caso a base é a=4>1. Aplicando a propriedade à desigualdade 4^{x+2} \ge 4^{3} obtemos equivalência com a desigualdade dos expoentes:
x+2 \ge 3.

Passo 5

Resolver a desigualdade linear obtida:
x+2 \ge 3 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 3-2 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 1.
Escrevendo como intervalo, a solução é [1,\infty).

Passo 6

Checagens rápidas (para confiar no resultado):
  • Se x=1, então 4^{x+2}=4^{3}=64, satisfaz (igualdade).
  • Se x=0, então 4^{2}=16<64, não satisfaz.
    Esses testes são consistentes com a solução x\ge 1.

Resposta

x\ge 1

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