Resolva, em R, as seguintes equações exponenciais:
\sqrt{3^{(x-1)}}=\left(\sqrt[5]{9^{x}}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a equação
\sqrt{3^{(x-1)}}=\left(\sqrt[5]{9^{x}}\right)^{2}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação envolve raízes e potências com bases 3 e 9.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x\in\mathbb{R} que satisfaçam a igualdade.
  • Observação importante sobre domínio: as bases 3 e 9 são positivas, logo as expressões de potência e raiz estão bem definidas para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos lembrar regras de potências e radiciação que vamos usar (explicando cada coisa devagar):
  • Regra de transformar raiz em potência fracionária: a raiz enésima de a^{m} pode ser escrita como potência com expoente fracionário,
\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n},
desde que a>0. Aqui a é a base (número positivo), m é o expoente dentro da raiz, e n é o índice da raiz. Exemplo rápido: \sqrt[3]{2^{4}}=2^{4/3}.
  • Regra da potência de potência: (a^{b})^{c}=a^{bc}. Exemplo: (2^{3})^{2}=2^{6}.
    Essas regras permitem passar as raízes e potências para uma expressão com a mesma base e expoentes fracionários, o que facilita comparar os dois lados.

Passo 3

Aplicando a regra da potência fracionária ao lado esquerdo:
\sqrt{3^{(x-1)}}=(3^{(x-1)})^{1/2}=3^{\frac{x-1}{2}}.
Aqui usei que \sqrt{\cdot} é raiz quadrada, isto é índice n=2, então o expoente 1/2.

Passo 4

Agora simplificamos o lado direito passo a passo.
Primeiro escrevemos a raiz quintas como potência:
\sqrt[5]{9^{x}}=(9^{x})^{1/5}.
Em seguida escrevemos 9 como potência de 3: 9=3^{2}. Assim
(9^{x})^{1/5}=(3^{2})^{x\cdot(1/5)}=(3^{2x})^{1/5}=3^{\frac{2x}{5}}.
Finalmente elevamos ao quadrado (lembrando (a^{b})^{2}=a^{2b}):
\left(\sqrt[5]{9^{x}}\right)^{2}=\left(3^{\frac{2x}{5}}\right)^{2}=3^{\frac{4x}{5}}.

Passo 5

Reescrevendo a equação com as duas potências na mesma base 3:
3^{\frac{x-1}{2}}=3^{\frac{4x}{5}}.
Agora usamos a propriedade: se a>0 e a\neq 1, então a^{u}=a^{v} implica u=v. Aqui a=3>0 e a\neq1, logo podemos igualar os expoentes:
\frac{x-1}{2}=\frac{4x}{5}.

Passo 6

Resolver a equação linear dos expoentes. Multiplico ambos os lados por 10 (o mínimo múltiplo comum de 2 e 5) para eliminar denominadores:
10\cdot\frac{x-1}{2}=10\cdot\frac{4x}{5}
5(x-1)=8x.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
5x-5=8x.
Passo a isolar x:
-5=8x-5x=3x
x=-\dfrac{5}{3}.

Passo 7

Fazer uma checagem rápida para garantir que não houve erro:
  • Calcular os expoentes com x=-\dfrac{5}{3}:
\frac{x-1}{2}=\frac{-\tfrac{5}{3}-1}{2}=\frac{-\tfrac{8}{3}}{2}=-\tfrac{4}{3}, \qquad \frac{4x}{5}=\frac{4\cdot(-\tfrac{5}{3})}{5}=-\tfrac{4}{3}.
Como os expoentes coincidem, os dois lados são iguais a 3^{-\tfrac{4}{3}}. Portanto a solução é válida.

Passo 8

Conclusão final (e uma palavra de incentivo): encontramos uma única solução real. Bom trabalho por ter chegado até aqui — com esses passos você resolve equações parecidas transformando raízes em potências fracionárias e comparando expoentes.

Resposta

-\dfrac{5}{3}

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