Resolva, em
, as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a equação
Informações dadas e o que se pede:
- A equação envolve raízes e potências com bases
e . - Precisamos encontrar todos os valores de
que satisfaçam a igualdade. - Observação importante sobre domínio: as bases
e são positivas, logo as expressões de potência e raiz estão bem definidas para todo .
Passo 2
Vamos lembrar regras de potências e radiciação que vamos usar (explicando cada coisa devagar):
- Regra de transformar raiz em potência fracionária: a raiz enésima de
pode ser escrita como potência com expoente fracionário,
desde que
. Aqui
é a base (número positivo),
é o expoente dentro da raiz, e
é o índice da raiz. Exemplo rápido:
.
- Regra da potência de potência:
. Exemplo: .
Essas regras permitem passar as raízes e potências para uma expressão com a mesma base e expoentes fracionários, o que facilita comparar os dois lados.
Passo 3
Aplicando a regra da potência fracionária ao lado esquerdo:
Aqui usei que
é raiz quadrada, isto é índice
, então o expoente
.
Passo 4
Agora simplificamos o lado direito passo a passo.
Primeiro escrevemos a raiz quintas como potência:
Primeiro escrevemos a raiz quintas como potência:
Em seguida escrevemos
como potência de
:
. Assim
Finalmente elevamos ao quadrado (lembrando
):
Passo 5
Reescrevendo a equação com as duas potências na mesma base
:
Agora usamos a propriedade: se
e
, então
implica
. Aqui
e
, logo podemos igualar os expoentes:
Passo 6
Resolver a equação linear dos expoentes. Multiplico ambos os lados por
(o mínimo múltiplo comum de
e
) para eliminar denominadores:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Passo a isolar
:
Passo 7
Fazer uma checagem rápida para garantir que não houve erro:
- Calcular os expoentes com
:
Como os expoentes coincidem, os dois lados são iguais a
. Portanto a solução é válida.
Passo 8
Conclusão final (e uma palavra de incentivo): encontramos uma única solução real. Bom trabalho por ter chegado até aqui — com esses passos você resolve equações parecidas transformando raízes em potências fracionárias e comparando expoentes.