Resolva, em \mathbf{R}, as seguintes inequações exponenciais:
2^{x}>8

Passo 1

O enunciado pede que se resolva, no conjunto dos números reais, a inequação
2^{x}>8.
Informações dadas e objetivo:
  • A expressão desconhecida é x e ele pertence a \mathbb{R}.
  • A base da exponencial é 2.
  • O objetivo é encontrar todos os valores reais de x que satisfazem a inequação acima.

Passo 2

Uma forma natural de simplificar a comparação é escrever 8 como potência de 2. Calcula-se:
8 = 2\cdot 2\cdot 2 = 2^{3}.
Portanto a inequação fica
2^{x} > 2^{3}.

Passo 3

Agora precisamos usar uma propriedade básica das exponenciais: para qualquer base a>1 a função t\mapsto a^{t} é estritamente crescente. Em palavras simples: se u>v então a^{u}>a^{v} quando a>1. No nosso caso a=2 e 2>1, então essa propriedade vale.
Breve justificativa intuitiva (sem cálculo pesado): multiplicar por 2 aumenta o número; portanto aumentar o expoente faz a potência crescer. Se quiser ver pela fórmula, a derivada é \dfrac{d}{dt}2^{t}=\ln(2)\,2^{t}>0, o que mostra crescimento estrito.

Passo 4

Aplicando a propriedade de monotonicidade ao resultado do Passo 2, da equivalência
2^{x} > 2^{3}
segue diretamente que
x > 3.

Passo 5

(Alternativa usando logaritmos, para fixar o método.) Tomando logaritmo natural em ambos os lados de 2^{x}>8 obtemos
\ln\big(2^{x}\big) > \ln(8).
Pelo fato de \ln(a^{b})=b\ln a, isso vira
x\ln 2 > \ln 8.
Como \ln 2>0, podemos dividir ambos os lados por \ln 2 sem inverter a desigualdade:
x > \frac{\ln 8}{\ln 2}.
Mas \ln 8=\ln(2^{3})=3\ln 2, então \dfrac{\ln 8}{\ln 2}=3 e novamente obtemos x>3. Para checar rapidamente, x=4 2^{4}=16>8 (ok) e x=2 2^{2}=4<8 (não ok), consistente com x>3.

Resposta

x>3

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