Resolva, em
, as seguintes inequações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede que se resolva, no conjunto dos números reais, a inequação
Informações dadas e objetivo:
- A expressão desconhecida é
e ele pertence a . - A base da exponencial é
. - O objetivo é encontrar todos os valores reais de
que satisfazem a inequação acima.
Passo 2
Uma forma natural de simplificar a comparação é escrever
como potência de
. Calcula-se:
Portanto a inequação fica
Passo 3
Agora precisamos usar uma propriedade básica das exponenciais: para qualquer base
a função
é estritamente crescente. Em palavras simples: se
então
quando
. No nosso caso
e
, então essa propriedade vale.
Breve justificativa intuitiva (sem cálculo pesado): multiplicar por
aumenta o número; portanto aumentar o expoente faz a potência crescer. Se quiser ver pela fórmula, a derivada é
, o que mostra crescimento estrito.
Passo 4
Aplicando a propriedade de monotonicidade ao resultado do Passo 2, da equivalência
segue diretamente que
Passo 5
(Alternativa usando logaritmos, para fixar o método.) Tomando logaritmo natural em ambos os lados de
obtemos
Pelo fato de
, isso vira
Como
, podemos dividir ambos os lados por
sem inverter a desigualdade:
Mas
, então
e novamente obtemos
. Para checar rapidamente,
dá
(ok) e
dá
(não ok), consistente com
.