Resolva:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{5}}\right\};

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{5}}\right\}.
Informações dadas: a expressão no domínio de s é \frac{1}{s^{5}}. Queremos encontrar uma função em t cuja transformada de Laplace seja essa expressão. Não são dados outros dados explícitos; assumimos t\ge 0 e \Re(s)>0 para convergência.

Passo 2

Lembra da definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (com t\ge 0),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Uma propriedade útil (que podemos demonstrar) é que, para inteiro n\ge 0,
\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-st}\,dt = \frac{n!}{s^{\,n+1}},
desde que \Re(s)>0. Essa fórmula liga potências de t a potências de s na transformada. Vou mostrar o cálculo para n=4, que é o caso que precisamos.

Passo 3

Defina
I=\int_{0}^{\infty} t^{4} e^{-st}\,dt.
Vamos calcular I por integração por partes. Use u=t^{4} e dv=e^{-st}\,dt. Então du=4t^{3}\,dt e v=-\frac{1}{s}e^{-st}. Pela fórmula de integração por partes,
\int_{0}^{\infty} u\,dv = \left[u v\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du.
Aqui \left[t^{4}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]_{0}^{\infty}=0, porque quando t\to\infty a exponencial domina e faz t^{4}e^{-st}\to 0 (para \Re(s)>0), e em t=0 o termo é zero. Então
I = 0 - \left(-\frac{1}{s}\right)\cdot 4 \int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt = \frac{4}{s}\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt.

Passo 4

Repita integração por partes para J_{3}=\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt. Tomando u=t^{3}, dv=e^{-st}\,dt obtemos du=3t^{2}\,dt, v=-\frac{1}{s}e^{-st}. Assim
J_{3}=\frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt.
Substituindo em I
I=\frac{4}{s}\cdot \frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt = \frac{4\cdot 3}{s^{2}}\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt.

Passo 5

Novamente, para J_{2}=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt com u=t^{2}, dv=e^{-st}\,dt temos du=2t\,dt, v=-\frac{1}{s}e^{-st}, logo
J_{2}=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.
Substituindo:
I=\frac{4\cdot 3}{s^{2}}\cdot \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \frac{4\cdot 3\cdot 2}{s^{3}}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.

Passo 6

Finalmente, para J_{1}=\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt usamos integração por partes com u=t, dv=e^{-st}\,dt dando du=dt, v=-\frac{1}{s}e^{-st}. Assim
J_{1}=\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} = \frac{1}{s^{2}}.
Portanto
I=\frac{4\cdot 3\cdot 2}{s^{3}}\cdot \frac{1}{s^{2}} = \frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{s^{5}} = \frac{4!}{s^{5}}.

Passo 7

Conseguimos mostrar que
\mathcal{L}\{t^{4}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{4} e^{-st}\,dt = \frac{4!}{s^{5}}.
Isso implica que
\mathcal{L}\left\{\frac{t^{4}}{4!}\right\}(s)=\frac{1}{s^{5}}.
Portanto a transformada inversa procurada é \frac{t^{4}}{4!}. Como 4!=24, podemos escrever o resultado de forma numérica.

Resposta

\displaystyle \frac{t^{4}}{24}

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