Resolva:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada inversa de Laplace
.
Informações dadas: a expressão no domínio de é
. Queremos encontrar uma função em
cuja transformada de Laplace seja essa expressão. Não são dados outros dados explícitos; assumimos
e
para convergência.
Informações dadas: a expressão no domínio de
Passo 2
Lembra da definição da transformada de Laplace: para uma função
(com
),
Uma propriedade útil (que podemos demonstrar) é que, para inteiro
,
desde que
. Essa fórmula liga potências de
a potências de
na transformada. Vou mostrar o cálculo para
, que é o caso que precisamos.
Passo 3
Defina
Vamos calcular
por integração por partes. Use
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes,
Aqui
, porque quando
a exponencial domina e faz
(para
), e em
o termo é zero. Então
Passo 4
Repita integração por partes para
. Tomando
,
obtemos
,
. Assim
Substituindo em
dá
Passo 5
Novamente, para
com
,
temos
,
, logo
Substituindo:
Passo 6
Finalmente, para
usamos integração por partes com
,
dando
,
. Assim
Portanto
Passo 7
Conseguimos mostrar que
Isso implica que
Portanto a transformada inversa procurada é
. Como
, podemos escrever o resultado de forma numérica.