Resolva os seguintes sistemas lineares pela fatoração LU.
\left\{\begin{array}{l}-5 x_{1}+4 x_{2}+0 x_{3}+1 x_{4}=-17 \\\\ -30 x_{1}+27 x_{2}+2 x_{3}+7 x_{4}=-102 \\\\ 5 x_{1}+2 x_{2}+0 x_{3}+2 x_{4}=-7 \\\\ 10 x_{1}+1 x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=-6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} -5x_{1}+4x_{2}+0x_{3}+1x_{4}=-17,\\\\ -30x_{1}+27x_{2}+2x_{3}+7x_{4}=-102,\\\\ 5x_{1}+2x_{2}+0x_{3}+2x_{4}=-7,\\\\ 10x_{1}+1x_{2}-2x_{3}+1x_{4}=-6, \end{cases}
e pede a solução (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) usando fatoração LU (método de Doolittle). Precisamos escrever A\,x=b, fatorar A=LU com L unitária e depois resolver Ly=b e Ux=y.

Passo 2

Definimos
A = \begin{pmatrix} -5 & 4 & 0 & 1\\\\ -30 & 27 & 2 & 7\\\\ 5 & 2 & 0 & 2\\\\ 10 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}-17\\\ -102\\\ -7\\\ -6\end{pmatrix}.

Passo 3

Usando Doolittle, temos inicialmente
u_{11} = -5,\quad \ell_{21} = \frac{-30}{-5}=6,\quad \ell_{31} = \frac{5}{-5}=-1,\quad \ell_{41} = \frac{10}{-5}=-2.
Atualizando segunda coluna e além, obtemos
u_{12}=4,\;u_{13}=0,\;u_{14}=1,
u_{22}=27-6\cdot4=3,\; u_{23}=2-6\cdot0=2,\; u_{24}=7-6\cdot1=1,
u_{32}=2-(-1)\cdot4=6,\; u_{33}=0-(-1)\cdot0=0,\; u_{34}=2-(-1)\cdot1=3,
u_{42}=1-(-2)\cdot4=9,\; u_{43}=-2-(-2)\cdot0=-2,\; u_{44}=1-(-2)\cdot1=3.
No pivô u_{22}=3 calculamos
\ell_{32}=\frac{6}{3}=2,\quad \ell_{42}=\frac{9}{3}=3,
e atualizamos
u_{33}=0-2\cdot2=-4,\quad u_{34}=3-2\cdot1=1,\quad u_{43}=-2-3\cdot2=-8,\quad u_{44}=3-3\cdot1=0.
No pivô u_{33}=-4 temos
\ell_{43}=\frac{-8}{-4}=2,
e então
u_{44}=0-2\cdot1=-2.
Logo
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 6 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & 1 & 0\\\\ -2 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} -5 & 4 & 0 & 1\\\\ 0 & 3 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & -4 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Resolvemos Ly=b por substituição direta:
y_{1}=-17,
y_{2} = -102 - 6\,y_{1} = -102 + 102 = 0,
y_{3} = -7 -(-1)\,y_{1} - 2\,y_{2} = -7 -17 = -24,
y_{4} = -6 -(-2)\,y_{1} - 3\,y_{2} - 2\,y_{3} = -6 - 34 + 0 + 48 = 8.
Assim
y = \begin{pmatrix}-17\\\ 0\\\ -24\\\ 8\end{pmatrix}.

Passo 5

Resolvemos Ux=y por substituição reversa:
-2\,x_{4}=8 \;\Rightarrow\; x_{4}=-4,
-4\,x_{3}+1\,x_{4}=-24 \;\Rightarrow\; -4\,x_{3}-4=-24 \;\Rightarrow\; x_{3}=5,
3\,x_{2}+2\,x_{3}+1\,x_{4}=0 \;\Rightarrow\; 3\,x_{2}+10-4=0 \;\Rightarrow\; x_{2}=-2,
-5\,x_{1}+4\,x_{2}+0\cdot x_{3}+1\,x_{4}=-17 \;\Rightarrow\; -5\,x_{1}-8-4=-17 \;\Rightarrow\; x_{1}=1.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (1,\,-2,\,5,\,-4).

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